Si të gjeni sipërfaqen e një formule të rregullt piramidale katërkëndore. Zona e një piramide katërkëndore

Udhëzimet

Para së gjithash, vlen të kuptohet se sipërfaqja anësore e piramidës përfaqësohet nga disa trekëndësha, zonat e të cilave mund të gjenden duke përdorur një sërë formulash, në varësi të të dhënave të njohura:

S = (a*h)/2, ku h është lartësia e ulur në anën a;

S = a*b*sinβ, ku a, b janë brinjët e trekëndëshit dhe β është këndi ndërmjet këtyre brinjëve;

S = (r*(a + b + c))/2, ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit dhe r është rrezja e rrethit të brendashkruar në këtë trekëndësh;

S = (a*b*c)/4*R, ku R është rrezja e trekëndëshit të rrethuar rreth rrethit;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (nëse trekëndëshi është kënddrejtë);

S = S = (a²*√3)/4 (nëse trekëndëshi është barabrinjës).

Në fakt, këto janë vetëm formulat më themelore të njohura për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi.

Pasi të keni llogaritur sipërfaqet e të gjithë trekëndëshave që janë fytyrat e piramidës duke përdorur formulat e mësipërme, mund të filloni të llogaritni sipërfaqen e kësaj piramide. Kjo bëhet jashtëzakonisht thjesht: duhet të shtoni sipërfaqet e të gjithë trekëndëshave që formojnë sipërfaqen anësore të piramidës. Kjo mund të shprehet me formulën:

Sp = ΣSi, ku Sp është zona e sipërfaqes anësore, Si është zona e trekëndëshit të i-të, e cila është pjesë e sipërfaqes së saj anësore.

Për qartësi më të madhe, mund të shqyrtojmë një shembull të vogël: jepet një piramidë e rregullt, faqet anësore të së cilës formohen nga trekëndësha barabrinjës dhe në bazën e saj shtrihet një katror. Gjatësia e skajit të kësaj piramide është 17 cm. Kërkohet të gjendet sipërfaqja anësore e kësaj piramide.

Zgjidhje: dihet gjatësia e skajit të kësaj piramide, dihet se faqet e saj janë trekëndësha barabrinjës. Kështu, mund të themi se të gjitha anët e të gjithë trekëndëshave në sipërfaqen anësore janë të barabarta me 17 cm, prandaj, për të llogaritur sipërfaqen e secilit prej këtyre trekëndëshave, do t'ju duhet të aplikoni formulën:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Dihet se në bazën e piramidës shtrihet një katror. Kështu, është e qartë se ka katër trekëndësha të dhënë barabrinjës. Pastaj sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës llogaritet si më poshtë:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Përgjigje: Sipërfaqja anësore e piramidës është 500.548 cm²

Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës. Sipërfaqja anësore është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Nëse keni të bëni me një piramidë të rregullt (d.m.th., një që ka një shumëkëndësh të rregullt në bazën e saj, dhe kulmi është projektuar në qendër të këtij shumëkëndëshi), atëherë për të llogaritur të gjithë sipërfaqen anësore mjafton të shumëzoni perimetrin e bazën (d.m.th., shuma e gjatësive të të gjitha anëve të poligonit që shtrihet në piramidën bazë) me lartësinë e faqes anësore (të quajtur ndryshe apotemë) dhe ndani vlerën që rezulton me 2: Sb = 1/2P* h, ku Sb është sipërfaqja e sipërfaqes anësore, P është perimetri i bazës, h është lartësia e faqes anësore (apotem).

Nëse keni një piramidë arbitrare para jush, do t'ju duhet të llogaritni veçmas sipërfaqet e të gjitha fytyrave dhe më pas t'i mblidhni ato. Meqenëse faqet anësore të piramidës janë trekëndësha, përdorni formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi: S=1/2b*h, ku b është baza e trekëndëshit dhe h është lartësia. Kur të jenë llogaritur sipërfaqet e të gjitha fytyrave, mbetet vetëm të mblidhen ato për të marrë sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.

Pastaj ju duhet të llogarisni sipërfaqen e bazës së piramidës. Zgjedhja e formulës për llogaritjen varet nga cili shumëkëndësh shtrihet në bazën e piramidës: i rregullt (d.m.th., një me të gjitha anët me të njëjtën gjatësi) ose i parregullt. Sipërfaqja e një poligoni të rregullt mund të llogaritet duke shumëzuar perimetrin me rrezen e rrethit të brendashkruar në poligon dhe duke pjesëtuar vlerën që rezulton me 2: Sn = 1/2P*r, ku Sn është sipërfaqja e shumëkëndëshi, P është perimetri, dhe r është rrezja e rrethit të brendashkruar në shumëkëndësh.

Një piramidë e cunguar është një shumëfaqësh që formohet nga një piramidë dhe seksioni i saj kryq paralel me bazën. Gjetja e sipërfaqes anësore të piramidës nuk është aspak e vështirë. Është shumë e thjeshtë: sipërfaqja është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave me . Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore. Supozoni se na është dhënë një piramidë e rregullt. Gjatësitë e bazës janë b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Për të gjetur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës, së pari duhet të gjeni perimetrin e bazave. Në një bazë të madhe do të jetë e barabartë me p1=4b=4*5=20 cm në një bazë më të vogël formula do të jetë si më poshtë: p2=4c=4*3=12 cm : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Sipërfaqja e përgjithshme e sipërfaqes anësore të një piramide përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore.

Në një piramidë katërkëndëshe, ekzistojnë dy lloje fytyrash - një katërkëndësh në bazë dhe trekëndësha me një kulm të përbashkët, të cilat formojnë sipërfaqen anësore.
Së pari ju duhet të llogaritni sipërfaqen e fytyrave anësore. Për ta bërë këtë, mund të përdorni formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi, ose gjithashtu mund të përdorni formulën për sipërfaqen e një piramide katërkëndore (vetëm nëse poliedri është i rregullt). Nëse piramida është e rregullt dhe dihet gjatësia e skajit a të bazës dhe apotema h e tërhequr drejt saj, atëherë:

Nëse, sipas kushteve, jepet gjatësia e skajit c të një piramide të rregullt dhe gjatësia e anës së bazës a, atëherë mund ta gjeni vlerën duke përdorur formulën e mëposhtme:

Nëse jepet gjatësia e skajit në bazë dhe këndi akut përballë tij në krye, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes anësore mund të llogaritet nga raporti i katrorit të anës a me kosinusin e dyfishtë të gjysmës së këndi α:

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide katërkëndore përmes skajit anësor dhe anës së bazës.

Problemi: Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësia e skajit b = 7 cm, gjatësia e anës së bazës a = 4 cm Zëvendësoni vlerat e dhëna në formulën:

Ne treguam llogaritjet e sipërfaqes së njërës faqe anësore për një piramidë të rregullt. Përkatësisht. Për të gjetur sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes, duhet të shumëzoni rezultatin me numrin e fytyrave, domethënë me 4. Nëse piramida është arbitrare dhe fytyrat e saj nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë sipërfaqja duhet të llogaritet. për secilën anë individuale. Nëse baza është një drejtkëndësh ose paralelogram, atëherë ia vlen të mbani mend vetitë e tyre. Anët e këtyre figurave janë paralele në çifte, dhe në përputhje me rrethanat fytyrat e piramidës do të jenë gjithashtu identike në çifte.
Formula për sipërfaqen e bazës së një piramide katërkëndore varet drejtpërdrejt nga cili katërkëndësh shtrihet në bazë. Nëse piramida është e saktë, atëherë sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën, nëse baza është një romb, atëherë do t'ju duhet të mbani mend se si ndodhet. Nëse ka një drejtkëndësh në bazë, atëherë gjetja e zonës së tij do të jetë mjaft e thjeshtë. Mjafton të dimë gjatësitë e anëve të bazës. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së bazës së një piramide katërkëndore.

Problema: Le të jepet një piramidë, në bazën e së cilës shtrihet një drejtkëndësh me brinjë a = 3 cm, b = 5 cm ulet një apotemë nga maja e piramidës në secilën nga anët. h-a =4 cm, h-b =6 cm Maja e piramidës shtrihet në të njëjtën vijë me pikën e prerjes së diagonaleve. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Formula për sipërfaqen e një piramide katërkëndore përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave dhe sipërfaqes së bazës. Së pari, le të gjejmë zonën e bazës:


Tani le të shohim anët e piramidës. Ato janë identike në çifte, sepse lartësia e piramidës kryqëzon pikën e kryqëzimit të diagonaleve. Domethënë, në piramidën tonë ka dy trekëndësha me bazë a dhe lartësi h-a, si dhe dy trekëndësha me bazë b dhe lartësi h-b. Tani le të gjejmë zonën e trekëndëshit duke përdorur formulën e njohur:


Tani le të bëjmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide katërkëndore. Në piramidën tonë me një drejtkëndësh në bazë, formula do të duket si kjo:

Piramida trekëndoreështë një shumëfaqësh, baza e të cilit është një trekëndësh i rregullt.

Në një piramidë të tillë, skajet e bazës dhe skajet e anëve janë të barabarta me njëra-tjetrën. Prandaj, zona e faqeve anësore gjendet nga shuma e sipërfaqeve të tre trekëndëshave identikë. Ju mund të gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt duke përdorur formulën. Dhe ju mund ta bëni llogaritjen disa herë më shpejt. Për ta bërë këtë, ju duhet të aplikoni formulën për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide trekëndore:

ku p është perimetri i bazës, të gjitha anët e së cilës janë të barabarta me b, a është apotema e ulur nga lart në këtë bazë. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide trekëndore.

Problemi: Le të jepet një piramidë e rregullt. Ana e trekëndëshit në bazë është b = 4 cm apotema e piramidës është a = 7 cm.
Meqenëse, sipas kushteve të problemit, ne i dimë gjatësitë e të gjithë elementëve të nevojshëm, do të gjejmë perimetrin. Kujtojmë se në një trekëndësh të rregullt të gjitha anët janë të barabarta, dhe, për këtë arsye, perimetri llogaritet me formulën:

Le të zëvendësojmë të dhënat dhe të gjejmë vlerën:

Tani, duke ditur perimetrin, mund të llogarisim sipërfaqen anësore:

Për të aplikuar formulën për sipërfaqen e një piramide trekëndore për të llogaritur vlerën e plotë, duhet të gjeni sipërfaqen e bazës së poliedrit. Për ta bërë këtë, përdorni formulën:

Formula për sipërfaqen e bazës së një piramide trekëndore mund të jetë e ndryshme. Është e mundur të përdoret çdo llogaritje e parametrave për një figurë të caktuar, por më shpesh kjo nuk kërkohet. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së bazës së një piramide trekëndore.

Problemi: Në një piramidë të rregullt, ana e trekëndëshit në bazë është a = 6 cm Llogaritni sipërfaqen e bazës.
Për të llogaritur, na duhet vetëm gjatësia e brinjës së trekëndëshit të rregullt që ndodhet në bazën e piramidës. Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

Shumë shpesh ju duhet të gjeni sipërfaqen totale të një poliedri. Për ta bërë këtë, duhet të shtoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore dhe bazës.

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide trekëndore.

Problem: Le të jepet një piramidë e rregullt trekëndore. Ana bazë është b = 4 cm, apotema është a = 6 cm Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Së pari, le të gjejmë zonën e sipërfaqes anësore duke përdorur formulën e njohur tashmë. Le të llogarisim perimetrin:

Zëvendësoni të dhënat në formulën:
Tani le të gjejmë zonën e bazës:
Duke ditur sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqes anësore, gjejmë sipërfaqen totale të piramidës:

Kur llogaritni sipërfaqen e një piramide të rregullt, nuk duhet të harroni se baza është një trekëndësh i rregullt dhe shumë elementë të këtij poliedri janë të barabartë me njëri-tjetrin.

është një figurë shumëplanëshe, baza e së cilës është një shumëkëndësh dhe faqet e mbetura përfaqësohen me trekëndësha me një kulm të përbashkët.

Nëse baza është një katror, ​​atëherë piramida quhet katërkëndëshe, nëse një trekëndësh - atëherë trekëndëshi. Lartësia e piramidës është tërhequr nga maja e saj pingul me bazën. Përdoret gjithashtu për të llogaritur sipërfaqen apotemë– lartësia e faqes anësore, e ulur nga maja e saj.
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo metodë e llogaritjes përdoret shumë rrallë. Në thelb, zona e piramidës llogaritet përmes perimetrit të bazës dhe apotemës:

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide.

Le të na jepet një piramidë me bazë ABCDE dhe majën F. AB = BC = CD = EA = 3 cm a = 5 cm Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.
Le të gjejmë perimetrin. Meqenëse të gjitha skajet e bazës janë të barabarta, perimetri i pesëkëndëshit do të jetë i barabartë me:
Tani mund të gjeni zonën anësore të piramidës:

Zona e një piramide të rregullt trekëndore

Një piramidë e rregullt trekëndore përbëhet nga një bazë në të cilën shtrihet një trekëndësh i rregullt dhe tre faqe anësore që janë të barabarta në sipërfaqe.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt trekëndore mund të llogaritet në mënyra të ndryshme. Ju mund të aplikoni formulën e zakonshme të llogaritjes duke përdorur perimetrin dhe apotemën, ose mund të gjeni sipërfaqen e një fytyre dhe ta shumëzoni atë me tre. Meqenëse faqja e një piramide është një trekëndësh, ne aplikojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Do të kërkojë një apotemë dhe gjatësinë e bazës. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore.

Jepet një piramidë me apotemë a = 4 cm dhe faqe bazë b = 2 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Së pari, gjeni zonën e njërës nga fytyrat anësore. Në këtë rast do të jetë:
Zëvendësoni vlerat në formulën:
Meqenëse në një piramidë të rregullt të gjitha anët janë të njëjta, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës do të jetë e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave. Përkatësisht:

Zona e një piramide të cunguar

E cunguar Një piramidë është një shumëfaqësh që formohet nga një piramidë dhe seksioni i saj kryq paralel me bazën.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shumë e thjeshtë. Sipërfaqja është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës: