Як знайти площу правильної чотирикутної піраміди формула. Площа чотирикутної піраміди

Інструкція

Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена ​​декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:

S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;

S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;

S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;

S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;

S = (a * b) / 2 = r + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);

S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).

Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.

Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:

Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.

Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.

Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:

S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²

Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²

Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб=1/2P*h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).

Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S = 1/2b * h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.

Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .

Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав з . Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні. Допустимо, дана правильна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.

Повна площа бічної поверхні піраміди складається із суми площ його бічних граней.

У чотирикутній піраміді розрізняється два види граней – чотирикутник в основі та трикутники із загальною вершиною, якою утворюють бічну поверхню.
Для початку потрібно розрахувати площу бічних граней. Для цього можна використовувати формули площі трикутника, а можна також скористатися формулою площі чотирикутної поверхні піраміди (тільки у випадку, якщо багатогранник правильний). Якщо піраміда правильна і відома довжина ребра a основи і проведеної до нього апофеми h , то:

Якщо за умовами дано довжина ребра c правильної піраміди і довжина сторони основи a можна знайти значення за наступною формулою:

Якщо ж дана довжина ребра в основі і гострий кут, що протилежить їй, у вершини, то можна розрахувати площу бічної поверхні за співвідношенням квадрата сторони a до подвоєного косінусу половини кута α :

Розглянемо приклад розрахунку площі поверхні чотирикутної піраміди через бічне ребро та бік основи.

Завдання: нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Довжина ребра b = 7 см, довжина сторони основи a = 4 см. Підставимо задані значення у формулу:

Ми показали розрахунки площі однієї бічної грані для правильної піраміди. Відповідно. Щоб знайти площу всієї поверхні, необхідно помножити результат на кількість граней, тобто на 4. Якщо піраміда довільна і її грані не рівні між собою, то розрахувати площу необхідно для кожної окремої сторони. Якщо в основі лежить прямокутник або паралелограм, варто згадати їх властивості. Сторони цих фігур попарно паралельні, відповідно грані піраміди будуть також попарно однакові.
Формула площі основи чотирикутної піраміди безпосередньо залежить від того, який чотирикутник лежить у основі. Якщо піраміда правильна, то площа основи розраховується за формулою , якщо в основі лежить ромб, потрібно згадати, як знаходиться . Якщо ж в основі лежить прямокутник, то знайти його площу буде досить просто. Достатньо знати довжини сторін основи. Розглянемо приклад розрахунку площі основи чотирикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана піраміда, в основі якої лежить прямокутник зі сторонами a = 3 см, b = 5 см. До кожної із сторін з вершини піраміди опущена апофема. h-a = 4 см, h-b = 6 см. Вершина піраміди лежить на одній лінії з точкою перетину діагоналей. Знайдіть повну площу піраміди.
Формула площі чотирикутної піраміди складається із суми площ усіх граней та площі основи. Для початку знайдемо площу основи:


Тепер розглянемо грані піраміди. Вони попарно однакові, оскільки висота піраміди перетинає точку перетину діагоналей. Тобто, в нашій піраміді є два трикутники з основою a і висотою h-a, а також два трикутники з основою b і висотою h-b. Тепер знайдемо площу трикутника за відомою формулою:


Тепер виконаємо приклад розрахунку площі чотирикутної піраміди. У нашій піраміді з прямокутником в основі, формула буде виглядати так:

Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:

де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжину всіх необхідних елементів, знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:

Підставимо дані та знайдемо значення:

Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні:

Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула:

Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.

Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується на підставі піраміди. Підставимо дані у формулу:

Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи.

Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:

Підставляємо дані у формулу:
Тепер знайдемо площу основи:
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди:

При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.

- Це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується дуже рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему: