Ердийн пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ. Дөрвөн өнцөгт пирамидын талбай

Пирамидын гадаргуугийн талбай. Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Энгийн пирамид бол суурь нь ердийн олон өнцөгт пирамид бөгөөд пирамидын орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг гэдгийг сануулъя.

Ийм пирамидын хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.Энгийн пирамидын оройноос зурсан энэ гурвалжны өндрийг apothem, SF - apothem гэж нэрлэдэг:

Доор үзүүлсэн асуудлын төрлөөс та бүх пирамидын гадаргуугийн талбай эсвэл түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. Блогт ердийн пирамидуудтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг аль хэдийн хэлэлцсэн бөгөөд асуулт нь элементүүдийг (өндөр, суурийн ирмэг, хажуугийн ирмэг) олох тухай байв.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар нь ихэвчлэн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудыг шалгадаг. Би ердийн таван өнцөгт болон долоон өнцөгт пирамидуудтай холбоотой ямар ч асуудал олж хараагүй.

Бүх гадаргуугийн талбайн томъёо нь энгийн байдаг - та пирамидын суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Даалгавруудыг авч үзье:

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 72, хажуугийн ирмэг нь 164. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

*Хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм.

Бид пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолж болно:

Тиймээс пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 28224

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 22, хажуугийн ирмэг нь 61-тэй тэнцүү байна. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь нь ердийн зургаан өнцөгт юм.

Энэхүү пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 61,61 ба 22 талтай тэнцүү гурвалжны зургаан хэсгээс бүрдэнэ.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор олъё.

Тиймээс хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 3240

*Дээр дурдсан асуудлуудад хажуугийн нүүрний талбайг өөр гурвалжны томъёог ашиглан олж болох боловч үүний тулд та апотемийг тооцоолох хэрэгтэй.

27155. Суурийн талууд нь 6, өндөр нь 4 байх энгийн дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбайг олохын тулд бид суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.

Суурийн талбай нь 6 талтай дөрвөлжин тул 36 байна.

Хажуугийн гадаргуу нь дөрвөн нүүрнээс бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү гурвалжин юм. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй (apothem):

*Гурвалжны талбай нь суурийн болон энэ сууринд татсан өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь зургаатай тэнцүү байна. Өндөрийг олъё. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (шараар тодруулсан):

Нэг хөл нь 4-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь пирамидын өндөр, нөгөө нь суурийн ирмэгийн хагастай тэнцүү тул 3-тай тэнцүү байна. Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж болно.

Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Тиймээс бүх пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 96

27069. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 10, хажуугийн ирмэг нь 13. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

27070. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 10, хажуугийн ирмэг нь 13-тай тэнцүү. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо бас байдаг. Ердийн пирамидын суурь нь хажуугийн гадаргуугийн ортогональ проекц юм, тиймээс:

П- суурь периметр, л- пирамидын үг

*Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн томъёонд үндэслэсэн болно.

Хэрэв та эдгээр томъёог хэрхэн гаргаж авсан талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл үүнийг бүү алдаарай, нийтлэлийн нийтлэлийг дагаарай.Тэгээд л болоо. Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Энэхүү геометрийн дүрс ба түүний шинж чанарын талаархи асуултуудыг судлахаасаа өмнө зарим нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. Пирамидын тухай сонссон хүн Египетийн асар том барилгуудыг төсөөлдөг. Хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Гэхдээ тэдгээр нь янз бүрийн хэлбэр, хэлбэртэй байдаг бөгөөд энэ нь геометрийн дүрсийг тооцоолох томъёо нь өөр байх болно гэсэн үг юм.

Пирамид - геометрийн дүрс, хэд хэдэн нүүр царайг илэрхийлж, төлөөлдөг. Үндсэндээ энэ бол ижил олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд түүний суурь дээр олон өнцөгт байрладаг бөгөөд талууд дээр нэг цэг дээр холбодог гурвалжин байдаг - орой. Зураг нь хоёр үндсэн төрлөөр ирдэг:

• зөв;
• тайрсан.

Эхний тохиолдолд суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. Энд бүх хажуугийн гадаргуу тэнцүү байнаӨөрсдийнхөө хооронд болон дүр төрх нь төгс төгөлдөр хүний ​​​​нүдэнд таалагдах болно.

Хоёрдахь тохиолдолд хоёр суурь байдаг - хамгийн доод талд нь том, дээд талынх нь хооронд жижиг, голын хэлбэрийг давтана. Өөрөөр хэлбэл, таслагдсан пирамид нь суурьтай параллель үүссэн хөндлөн огтлолтой олон өнцөгт юм.

Нэр томъёо, тэмдэг

Гол нэр томъёо:

• Тогтмол (тэнцүү талт) гурвалжин- гурван тэнцүү өнцөгтэй, тэнцүү талуудтай дүрс. Энэ тохиолдолд бүх өнцөг нь 60 градус байна. Энэ зураг нь энгийн олон талтуудын хамгийн энгийн зураг юм. Хэрэв энэ зураг суурь дээр байгаа бол ийм олон өнцөгтийг ердийн гурвалжин гэж нэрлэнэ. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамидыг ердийн дөрвөлжин пирамид гэж нэрлэнэ.
• Орой– ирмэгүүдийн нийлдэг хамгийн өндөр цэг. Оройн өндөр нь оройгоос пирамидын суурь хүртэл үргэлжилсэн шулуун шугамаар үүсгэгддэг.
• Ирмэг– олон өнцөгтийн хавтгайн нэг. Энэ нь гурвалжин пирамидын хувьд гурвалжин хэлбэртэй, эсвэл таслагдсан пирамидын хувьд трапец хэлбэртэй байж болно.
• Хэсэг- задралын үр дүнд үүссэн хавтгай дүрс. Хэсэг нь тухайн хэсгийн ард юу байгааг харуулдаг тул үүнийг хэсэгтэй андуурч болохгүй.
• Апотем- пирамидын оройноос суурь хүртэл зурсан сегмент. Энэ нь мөн хоёр дахь өндрийн цэг байрладаг нүүрний өндөр юм. Энэ тодорхойлолт нь зөвхөн ердийн олон өнцөгттэй холбоотой юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь таслагдсан пирамид биш бол нүүр нь гурвалжин болно. Энэ тохиолдолд энэ гурвалжны өндөр нь апотем болно.

Талбайн томъёо

Пирамидын хажуугийн гадаргууг олямар ч төрлийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв зураг нь тэгш хэмтэй биш бөгөөд өөр өөр талуудтай олон өнцөгт хэлбэртэй бол энэ тохиолдолд гадаргуугийн нийт талбайг бүх гадаргуугийн нийлбэрээр тооцоолоход хялбар болно. Өөрөөр хэлбэл, та нүүр бүрийн талбайг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.

Ямар параметрүүд мэдэгдэж байгаагаас хамааран квадрат, трапец, дурын дөрвөлжин гэх мэтийг тооцоолох томъёо шаардлагатай байж болно. Өөр өөр тохиолдолд томъёонууд өөрсдөөбас ялгаа байх болно.

Тогтмол дүрсийн хувьд талбайг олох нь илүү хялбар байдаг. Хэд хэдэн үндсэн параметрүүдийг мэдэхэд л хангалттай. Ихэнх тохиолдолд ийм тоонуудын хувьд тусгайлан тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Тиймээс холбогдох томъёог доор өгөв. Үгүй бол та бүх зүйлийг хэд хэдэн хуудсан дээр бичих хэрэгтэй бөгөөд энэ нь таныг төөрөлдүүлж, төөрөлдүүлэх болно.

Тооцооллын үндсэн томъёоЕрдийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь дараах хэлбэртэй байна.

S=½ Па (P нь суурийн периметр, ба апотем)

Нэг жишээг харцгаая. Полиэдр нь A1, A2, A3, A4, A5 сегментүүдтэй суурьтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд 10 см-тэй тэнцүү байна. Апотем 5 см-тэй тэнцүү байна. Эхлээд та периметрийг олох хэрэгтэй. Суурийн бүх таван нүүр нь адилхан тул та үүнийг дараах байдлаар олж болно: P = 5 * 10 = 50 см Дараа нь бид үндсэн томъёог хэрэглэнэ: S = ½ * 50 * 5 = 125 см квадрат.

Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайтооцоолоход хамгийн хялбар. Томъёо дараах байдалтай байна.

S =½* ab *3, энд a нь үгийн тэмдэг, b нь суурийн нүүр юм. Гуравын хүчин зүйл нь суурийн нүүрний тоог илэрхийлдэг бөгөөд эхний хэсэг нь хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. Нэг жишээ авч үзье. 5 см, суурийн ирмэг нь 8 см хэмжээтэй дүрс өгөгдсөн. Бид тооцоолно: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.

Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайТооцоолоход арай хэцүү. Томъёо нь дараах байдалтай харагдана: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, энд p_01 ба p_02 нь суурийн периметр бөгөөд апотем юм. Нэг жишээ авч үзье. Дөрвөн өнцөгт хэлбэрийн хувьд суурийн хажуугийн хэмжээс нь 3 ба 6 см, тэмдэг нь 4 см байна гэж бодъё.

Энд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см.Үндсэн томъёонд утгуудыг орлуулахад үлдэж, бид дараахийг авна: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 см квадрат.

Тиймээс та ямар ч нарийн төвөгтэй энгийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Та болгоомжтой байж, төөрөгдүүлэхгүй байх хэрэгтэйЭдгээр тооцоог бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн нийт талбайтай хамт хийнэ. Хэрэв та үүнийг хийх шаардлагатай хэвээр байгаа бол олон өнцөгтийн хамгийн том суурийн талбайг тооцоолж, олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмнэ үү.

Видео

Энэ видео нь янз бүрийн пирамидын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох талаархи мэдээллийг нэгтгэхэд тусална.

Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.

Хавтгай ба гурван хэмжээст орон зай дахь геометрийн ердийн асуудлууд нь янз бүрийн дүрсүүдийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлох асуудал юм. Энэ нийтлэлд бид ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёог танилцуулж байна.

Пирамид гэж юу вэ?

Пирамидын геометрийн хатуу тодорхойлолтыг өгье. Бидэнд n тал, n өнцөгтэй олон өнцөгт байна гэж бодъё. Заасан n өнцөгтийн хавтгайд байхгүй орон зайн дурын цэгийг сонгон олон өнцөгтийн орой бүртэй холбоно. Бид n өнцөгт пирамид гэж нэрлэгддэг тодорхой эзэлхүүнтэй дүрсийг авах болно. Жишээлбэл, таван өнцөгт пирамид хэрхэн харагдахыг доорх зурагт харуулъя.

Аливаа пирамидын хоёр чухал элемент нь түүний суурь (n-gon) ба орой юм. Эдгээр элементүүд нь хоорондоо тэнцүү биш n гурвалжингаар холбогдсон байдаг. Дээд талаас суурь руу бууж буй перпендикулярыг зургийн өндөр гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь суурийг геометрийн төвөөр огтолж байвал (олон өнцөгтийн массын төвтэй давхцаж байвал) ийм пирамидыг шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нөхцлөөс гадна суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал пирамидыг бүхэлд нь тогтмол гэж нэрлэдэг. Доорх зурган дээр гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт суурьтай ердийн пирамидууд ямар байхыг харуулж байна.

Пирамидын гадаргуу

Ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талаархи асуулт руу шилжихээсээ өмнө бид гадаргуугийн тухай ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзэх хэрэгтэй.

Дээр дурьдсанчлан, зурагт үзүүлснээр аливаа пирамид нь нүүр эсвэл талуудын багцаас бүрддэг. Нэг тал нь суурь, n тал нь гурвалжин юм. Зургийн гадаргуу нь түүний тал бүрийн талбайн нийлбэр юм.

Зургийн хөгжлийн жишээг ашиглан гадаргууг судлах нь тохиромжтой. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хөгжлийг доорх зурагт үзүүлэв.

Түүний гадаргуугийн талбай нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжны дөрвөн талбай ба квадратын талбайн нийлбэртэй тэнцүү болохыг бид харж байна.

Зургийн талыг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны нийт талбайг ихэвчлэн хажуугийн гадаргуугийн талбай гэж нэрлэдэг. Дараа нь бид ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд үүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.

Дөрвөн өнцөгт ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай

Заасан зургийн хажуугийн гадаргууг тооцоолохын тулд бид дээрх боловсруулалт руу дахин хандана. Бид дөрвөлжин суурийн талыг мэддэг гэж бодъё. Үүнийг a тэмдгээр тэмдэглэе. Дөрвөн ижил гурвалжин тус бүр нь a урттай суурьтай болохыг харж болно. Тэдний нийт талбайг тооцоолохын тулд та нэг гурвалжны хувьд энэ утгыг мэдэх хэрэгтэй. Геометрийн хичээлээс бид гурвалжны талбайн S t нь суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд үүнийг хагасаар нь хуваах ёстой. Тэр бол:

Энд h b нь суурь дээр татсан ижил өнцөгт гурвалжны өндөр юм. Пирамидын хувьд энэ өндөр нь апотем юм. Одоо пирамидын хажуугийн гадаргуугийн S b талбайг олж авахын тулд үүссэн илэрхийлэлийг 4-ээр үржүүлэх шаардлагатай байна.

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Энэ томъёо нь хоёр параметрийг агуулна: apothem ба суурийн хажуу. Хэрэв сүүлийнх нь ихэнх асуудлын нөхцөлд мэдэгдэж байгаа бол эхнийх нь бусад хэмжигдэхүүнүүдийг мэдэж байх ёстой. Хоёр тохиолдолд h b апотемийг тооцоолох томъёо энд байна.

• хажуугийн хавирганы уртыг мэдэх үед;
• пирамидын өндөр нь мэдэгдэж байх үед.

Хэрэв бид хажуугийн ирмэгийн уртыг (тэгц өнцөгт гурвалжны тал) L тэмдгээр тэмдэглэвэл h b-ийн апотемийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Энэ илэрхийлэл нь хажуугийн гадаргуугийн гурвалжинд Пифагорын теоремыг хэрэглэсний үр дүн юм.

Хэрэв пирамидын h өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол h b апотемийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Хэрэв бид пирамидын дотор h ба a/2 хөл ба гипотенуз h b-ээс үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзвэл энэ илэрхийллийг олж авахад хэцүү биш юм.

Сонирхолтой хоёр асуудлыг шийдэх замаар эдгээр томьёог хэрхэн хэрэглэхийг үзүүлье.

Мэдэгдэж буй гадаргуугийн талбайтай холбоотой асуудал

Дөрвөн өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 108 см 2 гэдгийг мэддэг. Пирамидын өндөр нь 7 см бол түүний нэрийн h b уртыг тооцоолох шаардлагатай.

Хажуугийн гадаргуугийн S b талбайн томьёог өндрөөр нь бичье. Бидэнд байгаа:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Энд бид зүгээр л тохирох апотемийн томьёог S b-ийн илэрхийлэлд орлуулсан. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

a-ийн утгыг олохын тулд бид хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг.

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Одоо бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийднэ.

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Бид энэ тэгшитгэлийн зөвхөн эерэг язгуурыг бичсэн. Дараа нь пирамидын суурийн талууд нь тэнцүү байх болно.

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 см.

Апотемийн уртыг авахын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) ≈ 7.808 см.

Хеопс пирамидын хажуугийн гадаргуу

Египетийн хамгийн том пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн утгыг тодорхойлъё. Түүний сууринд хажуугийн урт нь 230.363 метр дөрвөлжин байрладаг нь мэдэгдэж байна. Уг байгууламжийн өндөр нь анх 146.5 метр байв. Эдгээр тоог S b-ийн харгалзах томьёонд орлуулбал бид дараахийг авна.

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 ≈ 85860 м 2.

Олдсон үнэ нь 17 хөлбөмбөгийн талбайн хэмжээнээс арай том байна.

Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг- энэ бол нэг өнцөг нь пирамидын дээд хэсэгт байрлах гурвалжин бөгөөд эсрэг тал нь суурийн талтай (олон өнцөгт) давхцдаг.

Тодорхойлолт. Хажуугийн хавирга- эдгээр нь хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд юм. Пирамид нь олон өнцөгтийн өнцөгтэй адил олон ирмэгтэй байдаг.

Тодорхойлолт. Пирамидын өндөр- энэ нь пирамидын оройноос доош буусан перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Апотем- энэ нь пирамидын дээд талаас суурийн хажуу руу доошлуулсан пирамидын хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Диагональ хэсэг- энэ нь пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрч буй хавтгайгаар пирамидын хэсэг юм.

Тодорхойлолт. Зөв пирамидЭнэ нь суурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй, өндөр нь суурийн төв хүртэл доошоо буудаг пирамид юм.

Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай

Томъёо. Пирамидын эзэлхүүнсуурь талбай ба өндрөөр:

Пирамидын шинж чанарууд

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол пирамидын суурийг тойруулан тойрог зурж болох бөгөөд суурийн төв нь тойргийн төвтэй давхцдаг. Мөн дээрээс унасан перпендикуляр нь суурийн төв (тойрог) дамжин өнгөрдөг.

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол тэдгээр нь ижил өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байна.

Хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэх эсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол тэнцүү байна.

Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал пирамидын сууринд тойрог бичиж, пирамидын дээд хэсгийг төв хэсэгт байрлуулж болно.

Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

Ердийн пирамидын шинж чанарууд

1. Пирамидын дээд хэсэг нь суурийн бүх булангаас ижил зайд байрладаг.

2. Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.

3. Хажуугийн бүх хавирга нь суурьтай ижил өнцгөөр налуу байна.

4. Хажуугийн бүх нүүрнүүдийн тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

5. Хажуугийн бүх нүүрний талбайнууд тэнцүү байна.

6. Бүх нүүр нь хоёр талт (хавтгай) өнцөгтэй.

7. Пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Хязгаарлагдмал бөмбөрцгийн төв нь ирмэгийн дундуур дамждаг перпендикуляруудын огтлолцох цэг байх болно.

8. Бөмбөрцгийг пирамид дотор оруулж болно. Бичсэн бөмбөрцгийн төв нь ирмэг ба суурийн хоорондох өнцгөөс гарч буй биссектрисын огтлолцох цэг болно.

9. Хэрэв бичээстэй бөмбөрцгийн төв нь хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төвтэй давхцаж байвал орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь π-тэй тэнцүү эсвэл эсрэгээр, нэг өнцөг нь π/n-тэй тэнцүү, энд n нь тоо юм. пирамидын суурь дахь өнцгүүдийн .

Пирамид ба бөмбөрцөг хоорондын холбоо

Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон талт хэлбэртэй бол пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь пирамидын хажуугийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр перпендикуляр өнгөрч буй хавтгайн огтлолцох цэг болно.

Аливаа гурвалжин эсвэл ердийн пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрслэх боломжтой байдаг.

Хэрэв пирамидын дотоод хоёр талт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд нэг цэгт огтлолцож байвал бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв байх болно.

Конустай пирамидын холболт

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын сууринд бичээстэй байвал конусыг пирамид дотор бичдэг гэнэ.

Пирамидын нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамид хэлбэрээр бичиж болно.

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байвал конусыг тойрон хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Пирамид ба цилиндрийн хоорондын хамаарал

Пирамидын дээд хэсэг нь цилиндрийн нэг суурин дээр, харин пирамидын суурь нь цилиндрийн өөр сууринд бичээстэй байвал пирамидыг цилиндрт бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Пирамидын суурийг тойруулан тойрог дүрсэлж чадвал цилиндрийг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Тодорхойлолт. Таслагдсан пирамид (пирамид призм)нь пирамидын суурь ба суурьтай параллель огтлолын хавтгайн хооронд байрладаг олон өнцөгт юм. Тиймээс пирамид нь том суурьтай төстэй, жижиг суурьтай байдаг. Хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.

Тодорхойлолт. Гурвалжин пирамид (тетраэдр)нь гурван нүүр ба суурь нь дурын гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.

Тетраэдр нь дөрвөн нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэгтэй бөгөөд аль ч хоёр ирмэг нь нийтлэг оройгүй боловч хүрч болохгүй.

Орой бүр нь гурван нүүр, ирмэгээс бүрддэг гурвалжин өнцөг.

Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний төвтэй холбосон сегментийг нэрлэдэг тетраэдрийн медиан(GM).

Бимедианхүрэлгүй эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг (KL).

Тетраэдрийн бүх бимедиан ба медианууд нэг цэгт (S) огтлолцдог. Энэ тохиолдолд хоёр медианыг хагасаар хувааж, дээд талаас нь 3: 1 харьцаагаар хуваана.

Тодорхойлолт. Ташуу пирамидирмэгүүдийн аль нэг нь суурьтай мохоо өнцөг (β) үүсгэдэг пирамид юм.

Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт пирамиднь хажуугийн аль нэг нүүр нь сууринд перпендикуляр байрладаг пирамид юм.

Тодорхойлолт. Хурц өнцөгт пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас илүү урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Мохоо пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн уртаас хагасаас бага урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Ердийн тетраэдр- дөрвөн нүүр нь тэгш талт гурвалжин байдаг тетраэдр. Энэ нь ердийн таван олон өнцөгтийн нэг юм. Ердийн тетраэдрт бүх хоёр өнцөгт өнцөг (нүүрний хоорондох) ба гурвалсан өнцөг (орой дээр) тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт тетраэдророй дээрх гурван ирмэгийн хооронд тэгш өнцөгтэй (ирмэгүүд нь перпендикуляр) байдаг тетраэдр гэж нэрлэдэг. Гурван нүүр үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалжин өнцөгба нүүрнүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин, суурь нь дурын гурвалжин юм. Аливаа царайны нэрийн тэмдэг нь апотем унасан суурийн талтай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Изохедр тетраэдрхажуу тал нь хоорондоо тэнцүү тетраэдр гэж нэрлэгддэг ба суурь нь ердийн гурвалжин юм. Ийм тетраэдр нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй байдаг.

Тодорхойлолт. Ортоцентрик тетраэдрдээрээс эсрэг талын нүүр рүү буулгасан бүх өндөр (перпендикуляр) нэг цэгт огтлолцдог тетраэдр гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Од пирамидсуурь нь од байдаг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Бипирамид- хоёр өөр пирамид (пирамидуудыг таслах боломжтой), нийтлэг суурьтай, оройнууд нь суурийн хавтгайн эсрэг талд байрладаг олон өнцөгт.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ оюутнууд алгебр, геометрийн мэдлэгээ системчлэх ёстой. Би бүх мэдэгдэж байгаа мэдээллийг нэгтгэхийг хүсч байна, жишээлбэл, пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох талаар. Түүнээс гадна суурь ба хажуугийн ирмэгээс эхлээд бүх гадаргуугийн талбай хүртэл. Хэрвээ гурвалжин хэлбэртэй тул хажуугийн нүүрний байдал тодорхой байвал суурь нь үргэлж өөр байдаг.

Пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь дурын гурвалжингаас n-gon хүртэл ямар ч дүрс байж болно. Мөн энэ суурь нь өнцгийн тооны ялгаанаас гадна ердийн дүрс эсвэл жигд бус байж болно. Сургуулийн сурагчдын сонирхдог Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын үндсэн дээр зөвхөн зөв тоо бүхий даалгавар байдаг. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.

Ердийн гурвалжин

Өөрөөр хэлбэл, тэгш талт. Бүх талууд тэнцүү бөгөөд "а" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ тохиолдолд пирамидын суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

S = (a 2 * √3) / 4.

Дөрвөлжин

Түүний талбайг тооцоолох томъёо нь хамгийн энгийн бөгөөд энд "a" нь дахин тал юм.

Дурын тогтмол n-gon

Олон өнцөгтийн тал нь ижил тэмдэглэгээтэй байна. Өнцгийн тооны хувьд Латин үсэг n-ийг ашигладаг.

S = (n * a 2) / (4 * тг (180º/n)).

Хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо юу хийх вэ?

Суурь нь ердийн дүрс тул пирамидын бүх нүүр нь тэнцүү байна. Түүнээс гадна хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү тул тус бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Дараа нь пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд танд ижил мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх томъёо хэрэгтэй болно. Нэр томъёоны тоог суурийн талуудын тоогоор тодорхойлно.

Адил өнцөгт гурвалжны талбайг суурийн бүтээгдэхүүний талыг өндрөөр үржүүлсэн томъёогоор тооцоолно. Пирамидын энэ өндрийг апотем гэж нэрлэдэг. Түүний тэмдэглэгээ нь "А" юм. Хажуугийн гадаргуугийн ерөнхий томъёо нь:

S = ½ P*A, энд P нь пирамидын суурийн периметр юм.

Суурийн талууд тодорхойгүй ч хажуугийн ирмэгүүд (c) ба түүний орой дээрх хавтгай өнцгийг (α) өгсөн тохиолдол байдаг. Дараа нь та пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

2 sin α-д S = n/2 * .

Даалгавар №1

Нөхцөл байдал.Пирамидын суурийн тал нь 4 см, апотем нь √3 см-ийн утгатай бол түүний нийт талбайг ол.

Шийдэл.Та суурийн периметрийг тооцоолж эхлэх хэрэгтэй. Энэ нь ердийн гурвалжин тул P = 3 * 4 = 12 см. Апотем мэдэгдэж байгаа тул бид хажуугийн гадаргуугийн талбайг нэн даруй тооцоолж болно: ½ * 12 * √3 = 6√3 см 2.

Суурийн гурвалжны хувьд та дараах талбайн утгыг авна: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2.

Талбайг бүхэлд нь тодорхойлохын тулд 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 гэсэн хоёр утгыг нэмэх шаардлагатай.

Хариулт. 10√3 см 2.

Асуудал №2

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамид байдаг. Суурийн хажуугийн урт нь 7 мм, хажуугийн ирмэг нь 16 мм байна. Түүний гадаргуугийн талбайг олж мэдэх шаардлагатай.

Шийдэл.Полиэдрон нь дөрвөлжин хэлбэртэй, тогтмол байдаг тул түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдсэний дараа та пирамидын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дөрвөлжингийн томъёог дээр өгөв. Мөн хажуугийн нүүрний хувьд гурвалжны бүх талыг мэддэг. Тиймээс тэдгээрийн талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглаж болно.

Эхний тооцоо нь энгийн бөгөөд дараах тоонд хүргэдэг: 49 мм 2. Хоёр дахь утгын хувьд та хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 мм. Одоо та ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 мм 2. Зөвхөн дөрвөн ийм гурвалжин байдаг тул эцсийн тоог тооцоолохдоо 4-өөр үржүүлэх шаардлагатай болно.

Энэ нь: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 мм 2 болж байна.

Хариулах. Хүссэн утга нь 267.576 мм 2 байна.

Асуудал №3

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд та талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Талбайн тал нь 6 см, өндөр нь 4 см гэдгийг мэддэг.

Шийдэл.Хамгийн хялбар арга бол периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүнтэй томъёог ашиглах явдал юм. Эхний утгыг олоход хялбар байдаг. Хоёр дахь нь арай илүү төвөгтэй юм.

Бид Пифагорын теоремыг санаж, энэ нь пирамидын өндөр ба гипотенуз болох апотемоос үүсдэг гэж үзэх хэрэгтэй. Хоёрдахь хөл нь дөрвөлжингийн талтай тэнцүү байна, учир нь олон талт өндөр нь дунд хэсэгтээ унадаг.

Шаардлагатай апотем (тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз) нь √(3 2 + 4 2) = 5 (см) -тэй тэнцүү байна.

Одоо та шаардлагатай утгыг тооцоолж болно: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Хариулт. 96 см 2.

Асуудал №4

Нөхцөл байдал.Зөв талыг нь өгсөн.Түүний суурийн хажуу тал нь 22 мм, хажуугийн ирмэг нь 61 мм байна. Энэ олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?

Шийдэл.Үүний үндэслэл нь 2-р даалгаварт дурдсантай ижил байна. Зөвхөн тэнд дөрвөлжин суурьтай пирамид өгсөн бөгөөд одоо зургаан өнцөгт болжээ.

Юуны өмнө үндсэн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно: (6*22 2) / (4*тг (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2.

Одоо та хажуугийн нүүр болох ижил өнцөгт гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. (22+61*2):2 = 72 см.Хероны томьёог ашиглан ийм гурвалжин бүрийн талбайг тооцоод зургаагаар үржүүлээд суурийн хувьд авсан дээр нэмэх л үлдлээ.

Хероны томьёо ашиглан хийсэн тооцоо: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг өгөх тооцоо: 660 * 6 = 3960 см 2. Гадаргууг бүхэлд нь олж мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй: 5217.47≈5217 см 2.

Хариулт.Суурь нь 726√3 см 2, хажуугийн гадаргуу 3960 см 2, нийт талбай нь 5217 см 2 байна.