Ердийн дөрвөлжин пирамидын томьёоны талбайг хэрхэн олох вэ. Дөрвөн өнцөгт пирамидын талбай

Зааварчилгаа

Юуны өмнө пирамидын хажуугийн гадаргууг хэд хэдэн гурвалжингаар төлөөлдөг гэдгийг ойлгох нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн талбайг мэдэгдэж буй өгөгдлөөс хамааран янз бүрийн томъёог ашиглан олж болно.

S = (a*h)/2, энд h нь а тал руу буулгасан өндөр;

S = a*b*sinβ, энд a, b нь гурвалжны талууд, β нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг;

S = (r*(a + b + c))/2, энд a, b, c нь гурвалжны талууд, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус;

S = (a*b*c)/4*R, энд R нь тойргийг тойрсон гурвалжны радиус;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал);

S = S = (a²*√3)/4 (хэрэв гурвалжин тэгш талт бол).

Үнэн хэрэгтээ эдгээр нь гурвалжны талбайг олох хамгийн үндсэн мэдэгдэж буй томъёо юм.

Дээрх томъёог ашиглан пирамидын нүүр царай болох бүх гурвалжны талбайг тооцоолсны дараа та энэ пирамидын талбайг тооцоолж эхлэх боломжтой. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: та пирамидын хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны талбайг нэмэх хэрэгтэй. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.

Sp = ΣSi, энд Sp нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, Si нь хажуугийн гадаргуугийн хэсэг болох i-р гурвалжны талбай юм.

Илүү тодорхой болгохын тулд бид жижиг жишээг авч үзэж болно: ердийн пирамид, түүний хажуугийн нүүр нь тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх ба түүний суурь дээр дөрвөлжин байрладаг. Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь 17 см бөгөөд энэ пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох шаардлагатай.

Шийдэл: Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд түүний нүүр нь тэгш талт гурвалжин гэдгийг мэддэг. Тиймээс, хажуугийн гадаргуу дээрх бүх гурвалжны бүх талууд 17 см-тэй тэнцүү байна гэж хэлж болно. Тиймээс эдгээр гурвалжны аль нэгний талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Пирамидын ёроолд дөрвөлжин байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс дөрвөн тэгш талт гурвалжин байгаа нь тодорхой байна. Дараа нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Хариулт: Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 500.548 см²

Эхлээд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё. Хажуугийн гадаргуу нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл суурь нь энгийн олон өнцөгттэй, орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолохын тулд периметрийг үржүүлэхэд хангалттай. суурь (өөрөөр хэлбэл суурийн пирамид дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр апотем гэж нэрлэдэг) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb = 1/2P* h, энд Sb нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, P нь суурийн периметр, h нь хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).

Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолсны дараа пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.

Дараа нь та пирамидын суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллын томъёоны сонголт нь пирамидын суурь дээр аль олон өнцөгт байхаас хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл бүх тал нь ижил урттай) эсвэл жигд бус. Ердийн олон өнцөгтийн талбайг периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, үүссэн утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, Sn нь олон өнцөгтийн талбай юм. олон өнцөгт, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.

Таслагдсан пирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолын суурьтай параллель байрладаг олон өнцөгт юм. Пирамидын хажуугийн гадаргууг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ нь маш энгийн: талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Бидэнд ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Суурийн урт нь b = 5 см, c = 3 см. Апотем a = 4 см. Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй. Том суурийн хувьд p1=4b=4*5=20 см-тэй тэнцүү байх ба жижиг суурийн хувьд томьёо нь дараах байдалтай байна: p2=4c=4*3=12 см.Иймээс талбай нь тэнцүү байна. : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 см.

Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн нийт талбай нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ.

Дөрвөн өнцөгт пирамидын хувьд хоёр төрлийн нүүр байдаг - суурь нь дөрвөлжин ба хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг нийтлэг оройтой гурвалжин.
Эхлээд та хажуугийн нүүрний талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та гурвалжны талбайн томъёог ашиглаж болно, эсвэл дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн томъёог ашиглаж болно (зөвхөн олон талт хэлбэртэй бол). Хэрэв пирамид тогтмол бөгөөд суурийн а ирмэг ба түүнд татсан апотемийн h урт нь мэдэгдэж байвал:

Хэрэв нөхцлийн дагуу ердийн пирамидын c ирмэгийн урт ба суурийн хажуугийн уртыг a өгвөл дараах томъёогоор утгыг олох боломжтой.

Суурийн ирмэгийн урт ба дээд талд нь түүний эсрэг талын хурц өнцгийг өгвөл хажуугийн гадаргуугийн талбайг a талын квадратыг хагасын давхар косинусын харьцаагаар тооцоолж болно. өнцөг α:

Дөрвөн өнцөгт пирамидын гадаргуугийн талбайг хажуугийн ирмэг ба суурийн хажуугаар тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Энгийн дөрвөлжин пирамид өгье. Ирмэгийн урт b = 7 см, үндсэн хажуугийн урт a = 4 см. Өгөгдсөн утгыг томъёонд орлуулна уу.

Бид ердийн пирамидын нэг талын нүүрний талбайн тооцоог үзүүлэв. Тус тусад нь. Бүх гадаргуугийн талбайг олохын тулд үр дүнг нүүрний тоогоор, өөрөөр хэлбэл 4-өөр үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв пирамид дур зоргоороо бөгөөд нүүр нь хоорондоо тэнцүү биш бол талбайг тооцоолох шаардлагатай. тал бүрийн хувьд. Хэрэв суурь нь тэгш өнцөгт эсвэл параллелограмм бол тэдгээрийн шинж чанарыг санах нь зүйтэй. Эдгээр дүрсүүдийн талууд нь хосоороо параллель байх ба үүний дагуу пирамидын нүүр царай нь хосоороо ижил байх болно.
Дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн талбайн томьёо нь сууринд аль дөрвөн өнцөгт байрлахаас шууд хамаарна. Хэрэв пирамид зөв бол суурийн талбайг томъёогоор тооцоолно, хэрэв суурь нь ромб бол түүний хэрхэн байрлаж байгааг санах хэрэгтэй. Хэрэв суурь дээр тэгш өнцөгт байгаа бол түүний талбайг олох нь маш энгийн байх болно. Суурийн хажуугийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Суурин дээр нь a = 3 см, b = 5 см талуудтай тэгш өнцөгт орших пирамид өгье.Пирамидын оройноос тал тус бүр рүү апотемийг буулгав. h-a =4 см, h-b =6 см.Пирамидын орой нь диагональуудын огтлолцох цэгтэй нэг шулуун дээр байрладаг. Пирамидын нийт талбайг ол.
Дөрвөн өнцөгт пирамидын талбайн томъёо нь бүх нүүрний талбай ба суурийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ. Эхлээд суурийн талбайг олъё:


Одоо пирамидын талуудыг харцгаая. Пирамидын өндөр нь диагональуудын огтлолцлын цэгийг огтолж байгаа тул тэдгээр нь хос хосоороо ижил байдаг. Өөрөөр хэлбэл, манай пирамид a суурьтай, h-a өндөртэй хоёр гурвалжин, түүнчлэн b суурьтай, h-b өндөртэй хоёр гурвалжин байдаг. Одоо сайн мэддэг томъёог ашиглан гурвалжны талбайг олъё.


Одоо дөрвөлжин пирамидын талбайг тооцоолох жишээг үзүүлье. Суурьдаа тэгш өнцөгт хэлбэртэй манай пирамид дээр томъёо дараах байдалтай байна.

Гурвалжин пирамидсуурь нь ердийн гурвалжин болох олон өнцөгт юм.

Ийм пирамидын хувьд суурийн ирмэг ба хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байна. Үүний дагуу хажуугийн нүүрний талбайг гурван ижил гурвалжны талбайн нийлбэрээс олно. Та томъёог ашиглан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Мөн та тооцооллыг хэд дахин хурдан хийж чадна. Үүнийг хийхийн тулд та гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энд p нь суурийн периметр, бүх тал нь b-тэй тэнцүү, a нь дээрээс энэ суурь руу буулгасан апотем юм. Гурвалжин пирамидын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Асуудал: Ердийн пирамид өгье. Гурвалжны суурийн тал нь b=4см.Пирамидын апотем нь a=7см.Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Асуудлын нөхцлийн дагуу бид шаардлагатай бүх элементүүдийн уртыг мэддэг тул периметрийг олох болно. Ердийн гурвалжинд бүх талууд тэнцүү байдаг тул периметрийг дараах томъёогоор тооцоолдог гэдгийг бид санаж байна.

Өгөгдлийг орлуулж утгыг олъё:

Одоо периметрийг мэдсэнээр бид хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно.

Бүрэн утгыг тооцоолохын тулд гурвалжин пирамидын талбайн томъёог ашиглахын тулд та олон өнцөгтийн суурийн талбайг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Гурвалжин пирамидын суурийн талбайн томъёо нь өөр байж болно. Өгөгдсөн зургийн хувьд ямар ч параметрийн тооцоог ашиглах боломжтой боловч ихэнхдээ үүнийг хийх шаардлагагүй байдаг. Гурвалжин пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Энгийн пирамид гурвалжны суурийн тал нь a = 6 см. Суурийн талбайг тооцоол.
Тооцоолохын тулд бид пирамидын ёроолд байрлах ердийн гурвалжны хажуугийн уртыг л авах хэрэгтэй. Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Ихэнхдээ та олон өнцөгтийн нийт талбайг олох хэрэгтэй болдог. Үүнийг хийхийн тулд та хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайг нэмэх хэрэгтэй.

Гурвалжин пирамидын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Ердийн гурвалжин пирамид өгье. Суурийн тал нь b = 4 см, апотем нь a = 6 см. Пирамидын нийт талбайг ол.
Эхлээд аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан хажуугийн гадаргуугийн талбайг олъё. Периметрийг тооцоолъё:

Өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу:
Одоо суурийн талбайг олъё:
Суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдээд бид пирамидын нийт талбайг олно.

Ердийн пирамидын талбайг тооцоолохдоо суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд энэ олон өнцөгтийн олон элементүүд хоорондоо тэнцүү гэдгийг мартаж болохгүй.

нь олон талт дүрс бөгөөд түүний суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжингаар дүрслэгдсэн байдаг.

Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамид гэж нэрлэгддэг дөрвөлжин, хэрэв гурвалжин бол - тэгвэл гурвалжин. Пирамидын өндрийг дээд талаас нь суурьтай перпендикуляраар зурдаг. Мөн талбайг тооцоолоход ашигладаг апотем– хажуугийн нүүрний өндөр, дээрээс нь доошлуулсан.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томьёо нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тооцооны аргыг маш ховор ашигладаг. Үндсэндээ пирамидын талбайг суурь ба апотемийн периметрээр тооцоолно.

Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

ABCDE суурь ба дээд F-тэй пирамидыг өгье. AB =BC =CD =DE =EA =3 см Апотем a = 5 см Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Периметрийг олъё. Суурийн бүх ирмэгүүд тэнцүү тул пентагоны периметр нь дараахтай тэнцүү байна.
Одоо та пирамидын хажуугийн талбайг олж болно.

Ердийн гурвалжин пирамидын талбай

Ердийн гурвалжин пирамид нь ердийн гурвалжин байрладаг суурь ба талбайн хувьд тэнцүү гурван хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ.
Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёог янз бүрийн аргаар тооцоолж болно. Та ердийн тооцооллын томъёог периметр ба апотем ашиглан хэрэглэж болно, эсвэл нэг нүүрний талбайг олоод гурваар үржүүлж болно. Пирамидын нүүр нь гурвалжин учраас бид гурвалжны талбайн томъёог ашигладаг. Энэ нь апотем болон суурийн уртыг шаардах болно. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

a = 4 см, суурь нүүртэй b = 2 см хэмжээтэй пирамид өгөгдсөн бөгөөд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Эхлээд хажуугийн нүүрний аль нэгний талбайг ол. Энэ тохиолдолд дараах байдалтай болно.
Томъёонд утгыг орлуулна уу:
Ердийн пирамидын бүх талууд ижил байдаг тул пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь гурван нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Тус тусад нь:

Таслагдсан пирамидын талбай

ТасалсанПирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолын суурьтай параллель байдаг олон өнцөгт юм.
Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёо нь маш энгийн. Талбай нь суурь ба апотемийн периметрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.