Düzenli bir piramidin tabanının alanı nasıl bulunur? Dörtgen piramidin alanı

Piramidin yüzey alanı. Bu yazıda düzenli piramitlerle ilgili sorunlara bakacağız. Düzenli bir piramidin, tabanı düzgün bir çokgen olan bir piramit olduğunu, piramidin tepesinin bu çokgenin merkezine yansıtıldığını hatırlatmama izin verin.

Böyle bir piramidin yan yüzü ikizkenar üçgendir.Düzenli bir piramidin tepesinden çizilen bu üçgenin yüksekliğine apothem, SF - apothem denir:

Aşağıda sunulan problem türünde piramidin tamamının yüzey alanını veya yan yüzeyinin alanını bulmanız gerekir. Blogda normal piramitlerle ilgili çeşitli problemler tartışılmıştı; buradaki soru, elemanların (yükseklik, taban kenarı, yan kenar) bulunmasıyla ilgiliydi.

Birleşik Devlet Sınavı görevleri genellikle düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitleri inceler. Düzenli beşgen ve yedigen piramitlerde herhangi bir sorun görmedim.

Tüm yüzeyin alanı için formül basittir - piramidin tabanının alanı ile yan yüzeyinin alanının toplamını bulmanız gerekir:

Görevleri ele alalım:

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 72, yan kenarları 164'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanı, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir:

* Yan yüzey eşit alanlı dört üçgenden oluşur. Piramidin tabanı karedir.

Piramidin yan tarafının alanını aşağıdakileri kullanarak hesaplayabiliriz:

Böylece piramidin yüzey alanı:

Cevap: 28224

Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 22'ye, yan kenarları 61'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir altıgen piramidin tabanı düzenli bir altıgendir.

Bu piramidin yan yüzey alanı, kenarları 61,61 ve 22 olan altı eşit üçgen alandan oluşur:

Heron formülünü kullanarak üçgenin alanını bulalım:

Böylece yan yüzey alanı:

Cevap: 3240

*Yukarıda sunulan problemlerde yan yüzün alanı başka bir üçgen formülü kullanılarak bulunabilir, ancak bunun için apotemi hesaplamanız gerekir.

27155. Taban kenarları 6 ve yüksekliği 4 olan düzgün dörtgen piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanını bulmak için tabanın alanını ve yan yüzeyin alanını bilmemiz gerekir:

Kenarı 6 olan kare olduğundan taban alanı 36 dır.

Yan yüzey eşit üçgen olan dört yüzden oluşur. Böyle bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini (apothem) bilmeniz gerekir:

*Bir üçgenin alanı taban ile bu tabana çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Tabanı biliniyor, altıya eşit. Yüksekliğini bulalım. Bir dik üçgen düşünün (sarı renkle vurgulanmıştır):

Bir bacak piramidin yüksekliği olduğundan 4'e, diğeri ise tabanın kenarının yarısına eşit olduğundan 3'e eşittir. Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulabiliriz:

Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu şekilde olduğu anlamına gelir:

Böylece tüm piramidin yüzey alanı:

Cevap: 96

27069. Düzenli dörtgen piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

27070. Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı için de formüller vardır. Düzenli bir piramitte taban, yan yüzeyin dik bir çıkıntısıdır, bu nedenle:

P- taban çevresi, ben- piramidin özeti

*Bu formül üçgenin alan formülüne dayanmaktadır.

Bu formüllerin nasıl elde edildiği hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız kaçırmayın, makalelerin yayınlarını takip edin.Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Bu geometrik şekil ve özellikleri ile ilgili soruları incelemeden önce bazı terimleri anlamalısınız. İnsan piramidi duyduğunda aklına Mısır'daki devasa binalar gelir. En basitleri böyle görünüyor. Ancak farklı tür ve şekillerde gelirler, bu da geometrik şekillerin hesaplama formülünün farklı olacağı anlamına gelir.

Piramit - geometrik şekil, çeşitli yüzleri belirtir ve temsil eder. Özünde, bu, tabanında bir çokgen bulunan aynı çokyüzlüdür ve yanlarda bir noktaya - tepe noktasına bağlanan üçgenler vardır. Şekil iki ana tipte gelir:

• doğru;
• kesilmiş.

İlk durumda taban normal bir çokgendir. Burada tüm yan yüzeyler eşittir kendi aralarında ve figürün kendisi arasında bir mükemmeliyetçinin gözünü memnun edecektir.

İkinci durumda, iki taban vardır - en altta büyük ve üst arasında küçük olan, ana tabanın şeklini tekrarlayan. Başka bir deyişle, kesik bir piramit, tabana paralel oluşturulmuş bir kesite sahip bir çokyüzlüdür.

Terimler ve semboller

Anahtar terimler:

• Düzenli (eşkenar) üçgen- üç eşit açıya ve eşit kenarlara sahip bir şekil. Bu durumda tüm açılar 60 derecedir. Şekil, normal çokyüzlülerin en basitidir. Bu şekil tabanda yer alıyorsa, böyle bir çokyüzlüye normal üçgen adı verilecektir. Taban kare ise, piramite düzenli dörtgen piramit adı verilecektir.
• Tepe noktası– kenarların buluştuğu en yüksek nokta. Tepe noktasının yüksekliği, tepe noktasından piramidin tabanına uzanan düz bir çizgiyle oluşturulur.
• Kenar– çokgenin düzlemlerinden biri. Üçgen piramit durumunda üçgen şeklinde veya kesik piramit için yamuk şeklinde olabilir.
• Bölüm- diseksiyon sonucu oluşan düz bir figür. Bölüm aynı zamanda bölümün arkasında ne olduğunu da gösterdiği için bölümle karıştırılmamalıdır.
• Özlem- piramidin tepesinden tabanına kadar çizilen bir bölüm. Aynı zamanda ikinci yükseklik noktasının bulunduğu yüzün yüksekliğidir. Bu tanım yalnızca düzenli bir çokyüzlüyle ilgili olarak geçerlidir. Örneğin, bu kesik bir piramit değilse, yüz bir üçgen olacaktır. Bu durumda bu üçgenin yüksekliği özdeyiş olacaktır.

Alan formülleri

Piramidin yan yüzey alanını bulun herhangi bir tür birkaç yolla yapılabilir. Şekil simetrik değilse ve farklı kenarları olan bir çokgen ise, bu durumda toplam yüzey alanını tüm yüzeylerin toplamı üzerinden hesaplamak daha kolaydır. Yani her bir yüzün alanını hesaplayıp bunları birbirine eklemeniz gerekiyor.

Hangi parametrelerin bilindiğine bağlı olarak, kare, yamuk, isteğe bağlı dörtgen vb. hesaplama formülleri gerekebilir. Farklı durumlarda formüllerin kendisi farklılıkları da olacaktır.

Düzenli bir şekil olması durumunda alanı bulmak çok daha kolaydır. Sadece birkaç temel parametreyi bilmek yeterlidir. Çoğu durumda, bu tür rakamlar için özel olarak hesaplamalar yapılması gerekir. Bu nedenle ilgili formüller aşağıda verilecektir. Aksi takdirde, her şeyi birkaç sayfaya yazmak zorunda kalırsınız, bu da yalnızca kafanızı karıştırır ve kafanızı karıştırır.

Hesaplama için temel formül Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı aşağıdaki forma sahip olacaktır:

S=½ Pa (P tabanın çevresidir ve apothemdir)

Bir örneğe bakalım. Çokyüzlünün A1, A2, A3, A4, A5 segmentli bir tabanı vardır ve hepsi 10 cm'ye eşittir, öz 5 cm olsun, önce çevreyi bulmanız gerekir. Tabanın beş yüzü de aynı olduğundan şu şekilde bulabilirsiniz: P = 5 * 10 = 50 cm Sonra temel formülü uyguluyoruz: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kare.

Düzenli üçgen piramidin yan yüzey alanı hesaplaması en kolayı. Formül şuna benziyor:

S =½* ab *3, burada a özdeyiş, b tabanın yüzüdür. Buradaki üç faktörü, tabanın yüz sayısı anlamına gelir ve ilk kısım, yan yüzeyin alanıdır. Bir örneğe bakalım. Apothemi 5 cm, taban kenarı 8 cm olan bir şekil verildiğinde S = 1/2*5*8*3=60 cm kareyi hesaplıyoruz.

Kesilmiş bir piramidin yan yüzey alanı Hesaplaması biraz daha zor. Formül şuna benzer: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, burada p_01 ve p_02 tabanların çevreleridir ve apothemdir. Bir örneğe bakalım. Diyelim ki dörtgen bir şekil için tabanların kenar ölçüleri 3 ve 6 cm, özdeyiş ise 4 cm olsun.

Burada öncelikle tabanların çevrelerini bulmanız gerekiyor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Geriye kalan değerleri ana formülde değiştirmek kalıyor ve şunu elde ediyoruz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kare.

Böylece herhangi bir karmaşıklıktaki düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Dikkatli olmalısın ve kafanı karıştırmamalısın bu hesaplamalar tüm polihedronun toplam alanıyla yapılır. Ve yine de bunu yapmanız gerekiyorsa, çokyüzlünün en büyük tabanının alanını hesaplayın ve bunu çokyüzlünün yan yüzeyinin alanına ekleyin.

Video

Bu video, farklı piramitlerin yan yüzey alanını nasıl bulacağınızla ilgili bilgileri birleştirmenize yardımcı olacaktır.

Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.

Düzlemde ve üç boyutlu uzayda karşılaşılan tipik geometrik problemler, farklı şekillerin yüzey alanlarının belirlenmesi problemleridir. Bu yazıda düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanı formülünü sunuyoruz.

Piramit nedir?

Bir piramidin kesin bir geometrik tanımını verelim. Diyelim ki n kenarı ve n açısı olan bir çokgenimiz var. Uzayda belirtilen n-gon düzleminde olmayacak rastgele bir nokta seçelim ve onu çokgenin her köşesine bağlayalım. N-gonal piramit adı verilen belirli bir hacme sahip bir şekil elde edeceğiz. Örneğin aşağıdaki şekilde beşgen bir piramidin neye benzediğini gösterelim.

Herhangi bir piramidin iki önemli unsuru tabanı (n-gon) ve tepesidir. Bu elemanlar birbirine genel olarak eşit olmayan n adet üçgenle bağlanmıştır. Yukarıdan tabana doğru inen dik çizgiye şeklin yüksekliği denir. Tabanı geometrik merkezde keserse (çokgenin kütle merkeziyle çakışırsa), böyle bir piramide düz çizgi denir. Bu duruma ek olarak taban düzgün bir çokgen ise, piramidin tamamına düzenli denir. Aşağıdaki resim üçgen, dörtgen, beşgen ve altıgen tabanlı normal piramitlerin nasıl göründüğünü göstermektedir.

Piramidin yüzeyi

Düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanı sorusuna geçmeden önce, yüzey kavramı üzerinde daha detaylı durmalıyız.

Yukarıda bahsedildiği ve şekillerde gösterildiği gibi, herhangi bir piramit bir dizi yüz veya kenardan oluşur. Bir tarafı taban, n tarafı ise üçgendir. Tüm şeklin yüzeyi, her bir tarafının alanlarının toplamıdır.

Bir figürün gelişimi örneğini kullanarak bir yüzeyi incelemek uygundur. Düzenli bir dörtgen piramidin gelişimi aşağıdaki şekillerde gösterilmektedir.

Yüzey alanının aynı ikizkenar üçgenlerin dört alanı ile bir karenin alanının toplamına eşit olduğunu görüyoruz.

Bir şeklin kenarlarını oluşturan tüm üçgenlerin toplam alanına genellikle yan yüzey alanı denir. Daha sonra düzenli bir dörtgen piramit için bunun nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.

Dörtgen düzenli bir piramidin yan yüzey alanı

Belirtilen şeklin yan yüzey alanını hesaplamak için tekrar yukarıdaki gelişmeye dönüyoruz. Kare tabanın kenarını bildiğimizi varsayalım. Bunu a sembolüyle gösterelim. Dört özdeş üçgenin her birinin a uzunluğunda bir tabana sahip olduğu görülebilir. Toplam alanlarını hesaplamak için bir üçgenin bu değerini bilmeniz gerekir. Geometri dersinden, bir üçgenin S t alanının taban ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu ve bunun ikiye bölünmesi gerektiğini biliyoruz. Yani:

Burada h b, a tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliğidir. Bir piramit için bu yükseklik bir özdeyiştir. Şimdi, söz konusu piramidin yan yüzeyinin Sb alanını elde etmek için elde edilen ifadeyi 4 ile çarpmak kalıyor:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Bu formül iki parametre içerir: öz ve tabanın tarafı. Eğer ikincisi çoğu problem koşulunda biliniyorsa, o zaman ilkinin diğer miktarlar bilinerek hesaplanması gerekir. İki durum için h b özdeyişini hesaplamaya yönelik formüller şunlardır:

• yan kaburganın uzunluğu bilindiğinde;
• piramidin yüksekliği bilindiğinde.

Yan kenarın uzunluğunu (ikizkenar üçgenin tarafı) L sembolüyle belirtirsek, o zaman hb kısa formülü aşağıdaki formülle belirlenir:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Bu ifade Pisagor teoreminin yan yüzey üçgenine uygulanmasının sonucudur.

Piramidin yüksekliği h biliniyorsa, hb kısa değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

h b = √(h 2 + a 2/4).

Piramidin içinde h ve a/2 bacakları ile h b hipotenüsünden oluşan bir dik üçgeni düşünürsek bu ifadeyi elde etmek de zor değildir.

İki ilginç problemi çözerek bu formüllerin nasıl uygulanacağını gösterelim.

Bilinen yüzey alanıyla ilgili sorun

Dörtgenin yan yüzeyinin alanının 108 cm2 olduğu bilinmektedir. Piramidin yüksekliği 7 cm ise hb kısalığının uzunluğunu hesaplamak gerekir.

Yan yüzeyin S b alanının formülünü yükseklik cinsinden yazalım. Sahibiz:

S b = 2*√(h 2 + a 2/4) *a.

Burada basitçe uygun özdeyiş formülünü S b ifadesinin yerine koyduk. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

A'nın değerini bulmak için değişkenlerde değişiklik yaparız:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Şimdi bilinen değerleri yerine koyuyoruz ve ikinci dereceden denklemi çözüyoruz:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Bu denklemin sadece pozitif kökünü yazdık. O zaman piramidin tabanının kenarları şuna eşit olacaktır:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Kısaltmanın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanmanız yeterlidir:

h b = √(h 2 + a 2/4) = √(7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.

Keops piramidinin yan yüzeyi

En büyük Mısır piramidinin yan yüzey alanının değerini bulalım. Tabanında kenar uzunluğu 230.363 metre olan bir karenin bulunduğu bilinmektedir. Yapının yüksekliği başlangıçta 146,5 metreydi. Bu sayıları S b için karşılık gelen formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m2.

Bulunan değer 17 futbol sahasının alanından biraz daha büyüktür.

Tanım. Yan kenar- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafın tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.

Tanım. Yan kaburgalar- bunlar yan yüzlerin ortak kenarlarıdır. Bir piramidin çokgenin açı sayısı kadar kenarı vardır.

Tanım. Piramit yüksekliği- bu, piramidin tepesinden tabanına indirilen dikey bir çizgidir.

Tanım. Özlem- bu, piramidin tepesinden tabanın yan tarafına indirilen piramidin yan yüzüne diktir.

Tanım. Çapraz bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlemin piramidin bir bölümüdür.

Tanım. Doğru piramit tabanı düzgün bir çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezine doğru inen bir piramittir.

Piramidin hacmi ve yüzey alanı

Formül. Piramidin hacmi taban alanı ve yükseklik boyunca:

Piramidin özellikleri

Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkezine denk gelir. Ayrıca üstten düşen dikey bir çizgi tabanın (daire) ortasından geçer.

Tüm yan kenarlar eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.

Yan kenarlar, taban düzlemi ile eşit açı oluşturduğunda veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiğinde eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimliyse, piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkeze yansıtılır.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.

Düzenli bir piramidin özellikleri

1. Piramidin tepesi tabanın tüm köşelerine eşit mesafededir.

2. Tüm yan kenarlar eşittir.

3. Tüm yan kaburgalar tabana eşit açılarda eğimlidir.

4. Tüm yan yüzlerin özleri eşittir.

5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.

6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.

7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Çevreleyen kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.

8. Bir piramidin içine bir küre sığdırabilirsiniz. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.

9. Eğer yazılı kürenin merkezi çevrelenen kürenin merkezi ile çakışıyorsa, o zaman tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı π'ye eşit olur veya bunun tersi de geçerlidir, bir açı π/n'ye eşittir, burada n sayıdır Piramidin tabanındaki açılar.

Piramit ve küre arasındaki bağlantı

Piramidin tabanında, etrafında bir dairenin tanımlanabileceği bir çokyüzlü olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.

Herhangi bir üçgen veya düzgün piramidin etrafında bir küre tanımlamak her zaman mümkündür.

Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramite küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

Bir piramidin koni ile bağlantısı

Bir koninin, köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanına yazılmışsa, piramite yazılı olduğu söylenir.

Piramidin özleri birbirine eşitse, bir piramite bir koni yazılabilir.

Eğer köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir koninin bir piramidin etrafında çevrelendiği söylenir.

Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.

Piramit ile silindir arasındaki ilişki

Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, silindire yazılı piramit denir.

Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, bir piramidin etrafında bir silindir de tanımlanabilir.

Tanım. Kesilmiş piramit (piramidal prizma) piramidin tabanı ile tabana paralel kesit düzlemi arasında yer alan bir çokyüzlüdür. Böylece bir piramidin tabanı daha büyük ve büyük tabana benzeyen daha küçük bir tabana sahiptir. Yan yüzler trapez şeklindedir.

Tanım. Üçgen piramit (dört yüzlü)üç yüzü ve tabanı keyfi üçgenlerden oluşan bir piramittir.

Bir tetrahedronun dört yüzü, dört köşesi ve altı kenarı vardır; burada herhangi iki kenar ortak köşelere sahip değildir ancak birbirine değmez.

Her köşe, üç yüz ve kenardan oluşur. üçgen açı.

Bir tetrahedronun tepe noktası ile karşı yüzün merkezini birleştiren parçaya ne ad verilir? tetrahedronun ortancası(GM).

Bimedyen Birbirine değmeyen karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.

Bir tetrahedronun tüm bimedyenleri ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda bimedyanlar ikiye bölünür ve ortancalar üstten başlayarak 3:1 oranında bölünür.

Tanım. Eğimli piramit Kenarlarından birinin tabanla geniş bir açı (β) oluşturduğu bir piramittir.

Tanım. Dikdörtgen piramit yan yüzlerinden birinin tabana dik olduğu bir piramittir.

Tanım. Akut açılı piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından fazla olduğu bir piramit.

Tanım. Geniş piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından daha az olduğu bir piramit.

Tanım. Düzenli tetrahedron- dört yüzün de eşkenar üçgen olduğu bir tetrahedron. Beş normal çokgenden biridir. Düzenli bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (tepe noktasında) eşittir.

Tanım. Dikdörtgen tetrahedron tepedeki üç kenar arasında dik bir açı bulunan (kenarlar dik) tetrahedron olarak adlandırılır. Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve yüzler dik üçgenlerdir ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özdeyişi, özünün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.

Tanım. İzohedral tetrahedron Tabanı düzgün üçgen olan, yan yüzleri birbirine eşit olana tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun ikizkenar üçgen olan yüzleri vardır.

Tanım. Ortosentrik tetrahedron Yukarıdan karşı yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklerin) bir noktada kesiştiği tetrahedron denir.

Tanım. Yıldız piramidi Tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.

Tanım. Bipiramit- ortak bir tabana sahip iki farklı piramitten (piramitler de kesilebilir) oluşan ve köşeler taban düzleminin karşıt taraflarında yer alan bir çokyüzlü.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistematikleştirmeleri gerekir. Örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağına dair bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum. Üstelik taban ve yan kenarlardan başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerdeki durum açıksa, bunlar üçgen olduğundan taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanı nasıl bulunur?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: rastgele bir üçgenden n-gon'a kadar. Ve bu taban, açı sayısındaki farklılığa ek olarak düzenli bir şekil veya düzensiz bir şekil olabilir. Okul çocuklarını ilgilendiren Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde, temelde yalnızca doğru rakamlara sahip görevler vardır. Bu nedenle sadece onlardan bahsedeceğiz.

Düzenli üçgen

Yani eşkenar. Tüm kenarları eşit olan ve “a” harfiyle gösterilen. Bu durumda piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kare

Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada “a” yine kenardır:

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı gösterime sahiptir. Açı sayısı için Latin harfi n kullanılır.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).

Yanal ve toplam yüzey alanı hesaplanırken ne yapılmalı?

Taban düzgün bir şekil olduğundan piramidin tüm yüzleri eşittir. Üstelik yan kenarları eşit olduğundan her biri ikizkenar üçgendir. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aynı tek terimlilerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız olacak. Terim sayısı tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramidin bu yüksekliğine apothem denir. Tanımı “A”dır. Yan yüzey alanı için genel formül:

S = ½ P*A, burada P piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = n/2 * in 2 sin α .

Görev No.1

Durum. Tabanının kenarı 4 cm ve özdeyişin değeri √3 cm ise piramidin toplam alanını bulun.

Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan P = 3*4 = 12 cm.Özlem bilindiği için tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabiliriz: ½*12*√3 = 6√3 cm2.

Tabandaki üçgen için şu alan değerini elde edersiniz: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm2.

Alanın tamamını belirlemek için sonuçta ortaya çıkan iki değeri eklemeniz gerekecektir: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Cevap. 10√3 cm2.

Sorun No. 2

Durum. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban tarafının uzunluğu 7 mm, yan kenar 16 mm'dir. Yüzey alanını bulmak gerekir.

Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan tabanı karedir. Tabanın ve yan yüzlerin alanını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplayabileceksiniz. Karenin formülü yukarıda verilmiştir. Yan yüzler için ise üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Artık ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm2. Bu tür üçgenlerden yalnızca dört tane var, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekecek.

Görünüşe göre: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.

Cevap. İstenilen değer 267.576 mm2’dir.

Sorun No. 3

Durum. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. Karenin kenar uzunluğu 6 cm, yüksekliği ise 4 cm olarak bilinmektedir.

Çözüm. En kolay yol, formülü çevre ve apothem çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi ise biraz daha karmaşık.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve bunun piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan apotem tarafından oluşturulduğunu dikkate almamız gerekecek. İkinci bacak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.

Gerekli özdeyiş (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'ye eşittir.

Artık gerekli değeri hesaplayabilirsiniz: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Cevap. 96cm2.

Sorun No. 4

Durum. Doğru tarafı verilmiştir.Tabanının yanları 22 mm, yan kenarları 61 mm'dir. Bu çokyüzlünün yan yüzey alanı nedir?

Çözüm. Buradaki mantık, 2 numaralı görevde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit verildi ve şimdi altıgen oldu.

Öncelikle taban alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm2.

Şimdi yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22+61*2):2 = 72 cm Geriye Heron formülünü kullanarak her bir üçgenin alanını hesaplamak ve bunu altıyla çarpıp taban için elde edilen değere eklemek kalıyor.

Heron formülü kullanılarak yapılan hesaplamalar: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660*6 = 3960 cm2. Tüm yüzeyi bulmak için bunları toplamaya devam ediyor: 5217,47≈5217 cm2.

Cevap. Taban 726√3 cm2, yan yüzey 3960 cm2, tüm alan 5217 cm2’dir.