Kako pronaći površinu formule pravilne četverokutne piramide. Površina četverokutne piramide

upute

Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću različitih formula, ovisno o poznatim podacima:

S = (a*h)/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;

S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trokuta, a β kut između tih stranica;

S = (r*(a + b + c))/2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r polumjer kružnice upisane u ovaj trokut;

S = (a*b*c)/4*R, gdje je R polumjer trokuta opisanog krugu;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ako je trokut pravokutan);

S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).

Zapravo, ovo su samo najosnovnije poznate formule za pronalaženje površine trokuta.

Nakon što ste izračunali površine svih trokuta koji su lica piramide pomoću gornjih formula, možete početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi vrlo jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji tvore bočnu površinu piramide. To se može izraziti formulom:

Sp = ΣSi, gdje je Sp površina bočne površine, Si je površina i-tog trokuta, koja je dio njegove bočne površine.

Radi veće jasnoće, možemo razmotriti mali primjer: dana je redovita piramida, čije su bočne strane oblikovane jednakostraničnim trokutima, a na njezinoj osnovi leži kvadrat. Duljina ruba ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.

Rješenje: poznata je duljina brida ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostraničnog trokuta. Dakle, možemo reći da su sve stranice svih trokuta na bočnoj površini jednake 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Poznato je da u podnožju piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da su dana četiri jednakostranična trokuta. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm²

Prvo, izračunajmo površinu bočne površine piramide. Bočna ploha je zbroj površina svih bočnih ploha. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja ima pravilan mnogokut u svojoj bazi, a vrh je projiciran u središte tog mnogokuta), tada je za izračun cijele bočne površine dovoljno pomnožiti opseg s bazu (to jest, zbroj duljina svih stranica mnogokuta koji leži na osnovnoj piramidi) s visinom bočne strane (koja se inače naziva apotem) i podijelite dobivenu vrijednost s 2: Sb = 1/2P* h, gdje je Sb površina bočne površine, P je opseg baze, h je visina bočne strane (apotem).

Ako pred sobom imate proizvoljnu piramidu, morat ćete posebno izračunati površine svih ploha i zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, upotrijebite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b baza trokuta, a h visina. Kada su izračunate površine svih ploha, preostaje ih samo zbrojiti i dobiti površinu bočne plohe piramide.

Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Odabir formule za izračun ovisi o tome koji mnogokut leži u osnovi piramide: pravilan (to jest, onaj sa svim stranicama iste duljine) ili nepravilan. Površina pravilnog poligona može se izračunati množenjem perimetra s polumjerom upisane kružnice u poligon i dijeljenjem dobivene vrijednosti s 2: Sn = 1/2P*r, gdje je Sn površina poligon, P je opseg, a r polumjer upisane kružnice u mnogokut.

Krnja piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom. Pronalaženje bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovice zbroja baza s . Razmotrimo primjer izračuna bočne površine. Pretpostavimo da nam je dana pravilna piramida. Duljine baze su b = 5 cm, c = 3 cm. Apotem a = 4 cm. Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći opseg baza. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednaka : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbroja površina njezinih bočnih stranica.

U četverokutnoj piramidi postoje dvije vrste lica - četverokut u osnovi i trokuti sa zajedničkim vrhom, koji čine bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za površinu trokuta ili također možete koristiti formulu za površinu četverokutne piramide (samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i poznata je duljina brida a baze i apotema h privučena njoj, tada je:

Ako su prema uvjetima zadane duljina brida c pravilne piramide i duljina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost pomoću sljedeće formule:

Ako je dana duljina ruba na bazi i oštri kut nasuprot njemu na vrhu, tada se površina bočne površine može izračunati omjerom kvadrata stranice a i dvostrukog kosinusa polovine kut α:

Razmotrimo primjer izračuna površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.

Problem: Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Duljina ruba b = 7 cm, duljina stranice baze a = 4 cm Zamijenite date vrijednosti u formulu:

Pokazali smo izračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, morate rezultat pomnožiti s brojem lica, odnosno s 4. Ako je piramida proizvoljna i njezina lica nisu jednaka jedna drugoj, tada se mora izračunati površina za svaku pojedinačnu stranu. Ako je baza pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će prema tome i lica piramide također biti identična u parovima.
Formula za područje baze četverokutne piramide izravno ovisi o tome koji četverokut leži u bazi. Ako je piramida točna, tada se površina baze izračunava pomoću formule, ako je baza romb, tada ćete morati zapamtiti kako se nalazi. Ako u podnožju postoji pravokutnik, tada će pronalaženje njegove površine biti prilično jednostavno. Dovoljno je znati duljine stranica baze. Razmotrimo primjer izračuna površine baze četverokutne piramide.

Zadatak: Neka je dana piramida u čijoj osnovi leži pravokutnik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm.S vrha piramide na svaku od stranica spušten je apotem. h-a =4 cm, h-b =6 cm.Vrh piramide leži na istoj liniji na kojoj je sjecište dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četverokutne piramide sastoji se od zbroja površina svih lica i površine baze. Prvo, pronađimo područje baze:


Sada pogledajmo stranice piramide. U parovima su identični, jer visina piramide siječe točku presjeka dijagonala. Odnosno, u našoj piramidi postoje dva trokuta s osnovicom a i visinom h-a, kao i dva trokuta s osnovicom b i visinom h-b. Sada ćemo pronaći područje trokuta koristeći dobro poznatu formulu:


Sada ćemo izvesti primjer izračuna površine četverokutne piramide. U našoj piramidi s pravokutnikom u osnovi, formula bi izgledala ovako:

Trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.

U takvoj su piramidi rubovi baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, morate primijeniti formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je dana pravilna piramida. Stranica trokuta na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, pronaći ćemo opseg. Sjećamo se da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:

Zamijenimo podatke i pronađimo vrijednost:

Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu:

Da biste primijenili formulu za područje trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, morate pronaći područje baze poliedra. Da biste to učinili, upotrijebite formulu:

Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Moguće je koristiti bilo koji izračun parametara za određenu figuru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrimo primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.

Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta na bazi je a = 6 cm. Izračunajte površinu baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koji se nalazi u podnožju piramide. Zamijenimo podatke u formulu:

Vrlo često morate pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morat ćete zbrojiti površinu bočne površine i baze.

Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo površinu bočne površine pomoću već poznate formule. Izračunajmo opseg:

Zamijenite podatke u formulu:
Sada pronađimo područje baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide ne smijete zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.

je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: