Kaip rasti taisyklingos keturkampės piramidės formulės plotą. Keturkampės piramidės plotas

Instrukcijos

Visų pirma, verta suprasti, kad piramidės šoninis paviršius yra pavaizduotas keliais trikampiais, kurių plotus galima rasti naudojant įvairias formules, atsižvelgiant į žinomus duomenis:

S = (a*h)/2, kur h yra aukštis, nuleistas į a pusę;

S = a*b*sinβ, kur a, b yra trikampio kraštinės, o β yra kampas tarp šių kraštinių;

S = (r*(a + b + c))/2, kur a, b, c – trikampio kraštinės, o r – į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys;

S = (a*b*c)/4*R, kur R yra aplink apskritimą apibrėžto trikampio spindulys;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (jei trikampis stačiakampis);

S = S = (a²*√3)/4 (jei trikampis lygiakraštis).

Tiesą sakant, tai yra tik pagrindinės žinomos trikampio ploto nustatymo formulės.

Naudodami aukščiau pateiktas formules apskaičiavę visų trikampių, kurie yra piramidės paviršiai, plotus, galite pradėti skaičiuoti šios piramidės plotą. Tai daroma labai paprastai: reikia susumuoti visų trikampių, sudarančių piramidės šoninį paviršių, plotus. Tai galima išreikšti formule:

Sp = ΣSi, kur Sp yra šoninio paviršiaus plotas, Si yra i-ojo trikampio plotas, kuris yra jo šoninio paviršiaus dalis.

Siekiant didesnio aiškumo, galime apsvarstyti nedidelį pavyzdį: taisyklinga piramidė, kurios šoninius paviršius sudaro lygiakraščiai trikampiai, o jos pagrindu yra kvadratas. Šios piramidės briaunos ilgis 17 cm. Reikia rasti šios piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas: žinomas šios piramidės krašto ilgis, žinoma, kad jos paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Taigi, galime sakyti, kad visų trikampių šoniniame paviršiuje visos kraštinės yra lygios 17 cm. Todėl norint apskaičiuoti kurio nors iš šių trikampių plotą, reikės taikyti formulę:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Yra žinoma, kad piramidės apačioje yra kvadratas. Taigi aišku, kad yra keturi lygiakraščiai trikampiai. Tada piramidės šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas taip:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Atsakymas: Piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 500,548 cm²

Pirmiausia apskaičiuokime piramidės šoninio paviršiaus plotą. Šoninis paviršius yra visų šoninių paviršių plotų suma. Jei turite reikalą su taisyklingąja piramide (ty tokia, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o viršūnė projektuojama į šio daugiakampio centrą), tada norint apskaičiuoti visą šoninį paviršių, pakanka padauginti piramidės perimetrą. pagrindą (ty visų daugiakampio, esančio pagrindo piramidėje, kraštinių ilgių sumą) iš šoninio paviršiaus aukščio (kitaip vadinamo apotemu) ir gautą reikšmę padalinkite iš 2: Sb = 1/2P* h, kur Sb yra šoninio paviršiaus plotas, P yra pagrindo perimetras, h yra šoninio paviršiaus aukštis (apotema).

Jei priešais save turite savavališką piramidę, turėsite atskirai apskaičiuoti visų veidų plotus ir juos sudėti. Kadangi piramidės šoniniai paviršiai yra trikampiai, naudokite trikampio ploto formulę: S=1/2b*h, kur b yra trikampio pagrindas, o h yra aukštis. Suskaičiavus visų paviršių plotus, belieka juos susumuoti, kad gautume piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Tada reikia apskaičiuoti piramidės pagrindo plotą. Skaičiavimo formulės pasirinkimas priklauso nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde: taisyklingas (ty vienas, kurio visos kraštinės yra vienodo ilgio) ar netaisyklingasis. Taisyklingo daugiakampio plotą galima apskaičiuoti perimetrą padauginus iš daugiakampyje įrašyto apskritimo spindulio ir gautą reikšmę padalijus iš 2: Sn = 1/2P*r, kur Sn yra daugiakampio plotas. daugiakampis, P yra perimetras, o r yra daugiakampyje įrašyto apskritimo spindulys.

Nupjautoji piramidė yra daugiakampis, kurį sudaro piramidė ir jos skerspjūvis lygiagretus pagrindui. Surasti piramidės šoninio paviršiaus plotą visai nesunku. Tai labai paprasta: plotas lygus pusės bazių sumos sandaugai iš . Panagrinėkime šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį. Tarkime, kad mums duota taisyklinga piramidė. Pagrindo ilgiai b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Norėdami rasti piramidės šoninio paviršiaus plotą, pirmiausia turite rasti pagrindų perimetrą. Didelėje bazėje jis bus lygus p1=4b=4*5=20 cm.Mažesniame pagrinde formulė bus tokia: p2=4c=4*3=12 cm.Todėl plotas bus lygus : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Bendras piramidės šoninio paviršiaus plotas susideda iš jos šoninių paviršių plotų sumos.

Keturkampėje piramidėje yra dviejų tipų paviršiai – keturkampis prie pagrindo ir trikampiai su bendra viršūne, kurie sudaro šoninį paviršių.
Pirmiausia turite apskaičiuoti šoninių paviršių plotą. Norėdami tai padaryti, galite naudoti trikampio ploto formulę arba taip pat galite naudoti keturkampės piramidės paviršiaus ploto formulę (tik jei daugiakampis yra taisyklingas). Jei piramidė yra taisyklinga ir žinomas pagrindo kraštinės a ilgis ir į ją nubrėžtas apotemas h, tai:

Jei pagal sąlygas yra nurodytas taisyklingos piramidės briaunos c ilgis ir pagrindo kraštinės ilgis a, tada reikšmę galite rasti naudodami šią formulę:

Jei pateikiamas krašto ilgis prie pagrindo ir smailusis kampas priešais jį viršuje, tada šoninio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal kraštinės a kvadrato ir pusės dvigubo kosinuso santykį. kampas α:

Panagrinėkime keturkampės piramidės paviršiaus ploto per šoninį kraštą ir pagrindo kraštą apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duokime taisyklingą keturkampę piramidę. Krašto ilgis b = 7 cm, pagrindo kraštinės ilgis a = 4 cm. Pateiktas reikšmes pakeiskite į formulę:

Mes parodėme taisyklingos piramidės vieno šoninio paviršiaus ploto skaičiavimus. Atitinkamai. Norėdami rasti viso paviršiaus plotą, turite padauginti rezultatą iš veidų skaičiaus, tai yra iš 4. Jei piramidė yra savavališka ir jos paviršiai nėra lygūs vienas kitam, tada reikia apskaičiuoti plotą. kiekvienai atskirai pusei. Jei pagrindas yra stačiakampis arba lygiagretainis, tuomet verta prisiminti jų savybes. Šių figūrų kraštinės yra lygiagrečios poromis, todėl piramidės veidai poromis taip pat bus identiški.
Keturkampės piramidės pagrindo ploto formulė tiesiogiai priklauso nuo to, kuris keturkampis yra prie pagrindo. Jei piramidė yra teisinga, tada pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę, jei pagrindas yra rombas, tada turėsite prisiminti, kaip jis yra. Jei prie pagrindo yra stačiakampis, tada jo plotą rasti bus gana paprasta. Pakanka žinoti pagrindo kraštų ilgius. Panagrinėkime keturkampės piramidės pagrindo ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Uždavinys: Duota piramidė, kurios pagrinde yra stačiakampis, kurio kraštinės a = 3 cm, b = 5 cm. Nuo piramidės viršaus į kiekvieną iš kraštinių nuleidžiamas apotemas. h-a =4 cm, h-b =6 cm Piramidės viršūnė yra toje pačioje tiesėje kaip ir įstrižainių susikirtimo taškas. Raskite bendrą piramidės plotą.
Keturkampės piramidės ploto formulė susideda iš visų paviršių plotų ir pagrindo ploto sumos. Pirmiausia suraskime pagrindo plotą:


Dabar pažvelkime į piramidės šonus. Jie yra identiški poromis, nes piramidės aukštis kerta įstrižainių susikirtimo tašką. Tai yra, mūsų piramidėje yra du trikampiai, kurių pagrindas a ir aukštis h-a, taip pat du trikampiai, kurių pagrindas b ir aukštis h-b. Dabar suraskime trikampio plotą naudodami gerai žinomą formulę:


Dabar atlikime keturkampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį. Mūsų piramidėje su stačiakampiu prie pagrindo formulė atrodytų taip:

Trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingasis trikampis.

Tokioje piramidėje pagrindo kraštai ir šonų kraštai yra lygūs vienas kitam. Atitinkamai, šoninių paviršių plotas randamas iš trijų vienodų trikampių plotų sumos. Įprastos piramidės šoninį paviršiaus plotą galite rasti naudodami formulę. Ir jūs galite atlikti skaičiavimą kelis kartus greičiau. Norėdami tai padaryti, turite pritaikyti trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę:

čia p – pagrindo, kurio visos kraštinės lygios b, perimetras, a – nuo ​​viršaus iki šio pagrindo nuleistas apotemas. Panagrinėkime trikampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duokime taisyklingą piramidę. Trikampio kraštinė prie pagrindo yra b = 4 cm. Piramidės apotema yra a = 7 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Kadangi pagal uždavinio sąlygas žinome visų reikalingų elementų ilgius, rasime perimetrą. Prisimename, kad įprasto trikampio visos kraštinės yra lygios, todėl perimetras apskaičiuojamas pagal formulę:

Pakeiskime duomenis ir raskime reikšmę:

Dabar, žinodami perimetrą, galime apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą:

Norėdami pritaikyti trikampės piramidės ploto formulę, kad apskaičiuotumėte visą vertę, turite rasti daugiakampio pagrindo plotą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę:

Trikampės piramidės pagrindo ploto formulė gali būti skirtinga. Galima naudoti bet kokį tam tikros figūros parametrų skaičiavimą, tačiau dažniausiai to nereikia. Panagrinėkime trikampės piramidės pagrindo ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Uždavinys: Taisyklingoje piramidėje trikampio kraštinė prie pagrindo yra a = 6 cm. Apskaičiuokite pagrindo plotą.
Norėdami apskaičiuoti, mums reikia tik taisyklingo trikampio, esančio piramidės pagrinde, kraštinės ilgio. Pakeiskime duomenis į formulę:

Gana dažnai reikia rasti bendrą daugiakampio plotą. Norėdami tai padaryti, turėsite pridėti šoninio paviršiaus ir pagrindo plotą.

Panagrinėkime trikampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Užduotis: duokime taisyklingą trikampę piramidę. Pagrindo kraštinė b = 4 cm, apotema a = 6 cm. Raskite bendrą piramidės plotą.
Pirmiausia pagal jau žinomą formulę suraskime šoninio paviršiaus plotą. Apskaičiuokime perimetrą:

Pakeiskite duomenis į formulę:
Dabar suraskime pagrindo plotą:
Žinodami pagrindo ir šoninio paviršiaus plotą, randame bendrą piramidės plotą:

Skaičiuodami įprastos piramidės plotą, neturėtumėte pamiršti, kad pagrindas yra taisyklingas trikampis ir daugelis šio daugiakampio elementų yra lygūs vienas kitam.

yra daugiabriaunė figūra, kurios pagrindas yra daugiakampis, o likusieji paviršiai pavaizduoti trikampiais su bendra viršūne.

Jei pagrindas yra kvadratas, tada piramidė vadinama keturkampis, jei trikampis – tada trikampis. Piramidės aukštis brėžiamas nuo jos viršaus statmenai pagrindui. Taip pat naudojamas plotui apskaičiuoti apotemas– šoninio veido aukštis, nuleistas nuo jo viršaus.
Piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos šoninių paviršių, kurie yra lygūs vienas kitam, plotų suma. Tačiau šis skaičiavimo metodas naudojamas labai retai. Iš esmės piramidės plotas apskaičiuojamas per pagrindo ir apotemos perimetrą:

Panagrinėkime piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Tegul piramidė yra su pagrindu ABCDE ir viršūne F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Raskime perimetrą. Kadangi visi pagrindo kraštai yra vienodi, penkiakampio perimetras bus lygus:
Dabar galite rasti piramidės šoninį plotą:

Taisyklingos trikampės piramidės plotas

Taisyklinga trikampė piramidė susideda iš pagrindo, kuriame yra taisyklingas trikampis ir trys šoniniai paviršiai, kurių plotas yra lygus.
Taisyklingos trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė gali būti apskaičiuojama įvairiais būdais. Galite taikyti įprastą skaičiavimo formulę naudodami perimetrą ir apotemą arba galite rasti vieno veido plotą ir padauginti jį iš trijų. Kadangi piramidės veidas yra trikampis, mes taikome trikampio ploto formulę. Tam reikės apotemos ir pagrindo ilgio. Panagrinėkime taisyklingos trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Duota piramidė, kurios apotema a = 4 cm, o pagrindo paviršius b = 2 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Pirmiausia suraskite vieno iš šoninių veidų plotą. Šiuo atveju tai bus:
Pakeiskite reikšmes į formulę:
Kadangi įprastoje piramidėje visos kraštinės yra vienodos, piramidės šoninio paviršiaus plotas bus lygus trijų paviršių plotų sumai. Atitinkamai:

Nupjautos piramidės plotas

Sutrumpintas Piramidė yra daugiakampis, kurį sudaro piramidė ir jos skerspjūvis lygiagretus pagrindui.
Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra labai paprasta. Plotas lygus pusės pagrindų perimetrų ir apotemos sandaugai: