Kuidas leida tavalise püramiidi aluse pindala. Nelinurkse püramiidi pindala

Püramiidi pindala. Selles artiklis vaatleme tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.

Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle korrapärase püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF - apoteemiks:

Allpool esitatud probleemitüübi puhul peate leidma kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus küsimus oli elementide leidmises (kõrgus, aluse serv, külgserv).

Ühtse riigieksami ülesannetes uuritakse tavaliselt korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viisnurksete ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.

Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:

Vaatleme ülesandeid:

Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised servad 164. Leidke selle püramiidi pindala.

Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:

*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.

Püramiidi külje pindala saame arvutada, kasutades:

Seega on püramiidi pindala:

Vastus: 28224

Tavalise kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.

Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61, 61 ja 22:

Leiame kolmnurga pindala Heroni valemi abil:

Seega on külgpindala:

Vastus: 3240

*Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida teise kolmnurga valemi abil, kuid selleks peate arvutama apoteemi.

27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.

Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:

Aluse pindala on 36, kuna see on ruut küljega 6.

Külgpind koosneb neljast tahust, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):

*Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelge täisnurksele kolmnurgale (kollasega esile tõstetud):

Üks jalg on 4, kuna see on püramiidi kõrgus, teine ​​​​on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:

See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:

Seega on kogu püramiidi pindala:

Vastus: 96

27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leia selle püramiidi pindala.

27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:

P- baasi perimeeter, l- püramiidi apoteem

*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.

Kui soovite nende valemite tuletamise kohta lisateavet, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Enne selle geomeetrilise kujundi ja selle omadustega seotud küsimuste uurimist peaksite mõistma mõnda terminit. Kui inimene kuuleb püramiidist, kujutab ta ette tohutuid ehitisi Egiptuses. Sellised näevad välja kõige lihtsamad. Kuid neid on erinevat tüüpi ja erineva kujuga, mis tähendab, et geomeetriliste kujundite arvutusvalem on erinev.

Püramiid - geomeetriline kujund, mis tähistab ja esindab mitut nägu. Sisuliselt on see sama hulktahukas, mille põhjas asub hulknurk ja külgedel on kolmnurgad, mis ühendavad ühes punktis - tipus. Joonist on kahte peamist tüüpi:

• õige;
• kärbitud.

Esimesel juhul on aluseks tavaline hulknurk. Siin on kõik külgpinnad võrdsed enda ja figuuri enda vahel meeldivad perfektsionistile.

Teisel juhul on kaks alust - suur allosas ja väike ülaosas, mis kordab peamise kuju. Teisisõnu on kärbitud püramiid hulktahukas, mille ristlõige on moodustatud paralleelselt alusega.

Tingimused ja sümbolid

Võtmesõnad:

• Korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk- kolme võrdse nurga ja võrdsete külgedega kujund. Sel juhul on kõik nurgad 60 kraadi. Joonis on tavalistest hulktahukatest lihtsaim. Kui see arv asub aluses, nimetatakse sellist hulktahukat tavaliseks kolmnurkseks. Kui alus on ruut, nimetatakse püramiidi tavaliseks nelinurkseks püramiidiks.
• Tipp– kõrgeim punkt, kus servad kokku puutuvad. Tipu kõrguse moodustab sirgjoon, mis ulatub tipust püramiidi põhjani.
• Edge– üks hulknurga tasapindadest. See võib olla kolmnurkse püramiidi puhul kolmnurga kujul või kärbitud püramiidi puhul trapetsi kujul.
• jaotis- lahkamise tulemusena tekkinud lame kuju. Seda ei tohiks segi ajada lõiguga, kuna jaotis näitab ka seda, mis on jaotise taga.
• Apoteem- segment, mis on tõmmatud püramiidi tipust selle põhjani. See on ka näo kõrgus, kus asub teine ​​kõrguspunkt. See määratlus kehtib ainult tavalise hulktahuka puhul. Näiteks kui see pole kärbitud püramiid, on nägu kolmnurk. Sel juhul saab apoteemiks selle kolmnurga kõrgus.

Pindala valemid

Leidke püramiidi külgpindala mis tahes tüüpi saab teha mitmel viisil. Kui joonis ei ole sümmeetriline ja kujutab endast erinevate külgedega hulknurka, siis on sel juhul lihtsam arvutada kogupindala läbi kõikide pindade summa. Teisisõnu peate arvutama iga näo pindala ja liitma need kokku.

Sõltuvalt teadaolevatest parameetritest võib vaja minna ruudu, trapetsi, suvalise nelinurga jne arvutamise valemeid. Valemid ise erinevatel juhtudel on ka erinevusi.

Tavafiguuri puhul on ala leidmine palju lihtsam. Piisab vaid mõne põhiparameetri teadmisest. Enamikul juhtudel on selliste arvude jaoks vaja spetsiaalselt arvutusi. Seetõttu esitatakse allpool vastavad valemid. Vastasel juhul peaksite kõik mitme lehekülje peale välja kirjutama, mis teid ainult segaks ja segaks.

Arvutamise põhivalem Tavalise püramiidi külgpinnal on järgmine kuju:

S = ½ Pa (P on aluse ümbermõõt ja apoteem)

Vaatame ühte näidet. Polühedril on alus segmentidega A1, A2, A3, A4, A5 ja kõik need on võrdsed 10 cm Olgu apoteem võrdne 5 cm Esmalt tuleb leida ümbermõõt. Kuna aluse kõik viis külge on ühesugused, saate selle leida järgmiselt: P = 5 * 10 = 50 cm Järgmiseks rakendame põhivalemit: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm ruudus.

Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpindala kõige lihtsam arvutada. Valem näeb välja selline:

S =½* ab *3, kus a on apoteem, b on aluse tahk. Tegur kolm tähendab siin aluse pindade arvu ja esimene osa on külgpinna pindala. Vaatame näidet. Antud joonis, mille apoteem on 5 cm ja aluse serv 8 cm Arvutame: S = 1/2*5*8*3=60 cm ruudus.

Tüvipüramiidi külgpindala Seda on veidi keerulisem arvutada. Valem näeb välja selline: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, kus p_01 ja p_02 on aluste perimeetrid ja on apoteem. Vaatame näidet. Oletame, et nelinurkse kujundi korral on aluste külgede mõõtmed 3 ja 6 cm ning apoteemi mõõtmed on 4 cm.

Siin tuleb kõigepealt leida aluste ümbermõõdud: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Jääb üle põhivalemisse väärtused asendada ja saame: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm ruudus.

Seega võite leida mis tahes keerukusega tavalise püramiidi külgpinna. Peaksite olema ettevaatlik ja mitte segadusse ajada need arvutused kogu hulktahuka kogupindalaga. Ja kui teil on seda siiski vaja teha, arvutage lihtsalt hulktahuka suurima aluse pindala ja lisage see hulktahuka külgpinna pindalale.

Video

See video aitab teil koondada teavet selle kohta, kuidas leida erinevate püramiidide külgpindala.

Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.

Tüüpilised geomeetrilised ülesanded tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis on erinevate kujundite pindalade määramise ülesanded. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna valemi.

Mis on püramiid?

Anname püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et meil on hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valime suvalise ruumipunkti, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendame selle hulknurga iga tipuga. Saame teatud ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-nurkseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, milline näeb välja viisnurkne püramiid.

Iga püramiidi kaks olulist elementi on selle põhi (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis üldiselt ei ole üksteisega võrdsed. Ülaosast alusele laskuvat risti nimetatakse kujundi kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgjooneks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval pildil on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse alusega püramiidid.

Püramiidi pind

Enne tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna küsimuse juurde asumist peaksime üksikasjalikumalt peatuma pinna enda kontseptsioonil.

Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, on mis tahes püramiid moodustatud tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu joonise pind on selle iga külje pindalade summa.

Pinda on mugav uurida figuuri arengu näitel. Tavalise nelinurkse püramiidi areng on näidatud allolevatel joonistel.

Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.

Kõikide kujundi külgi moodustavate kolmnurkade kogupindala nimetatakse tavaliselt külgpinnaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.

Nelinurkse korrapärase püramiidi külgpindala

Näidatud joonise külgpinna arvutamiseks pöördume uuesti ülaltoodud arengu poole. Oletame, et teame ruudu aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria kursusest teame, et kolmnurga pindala S t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. See on:

Kus h b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada kõnealuse püramiidi külgpinna pindala S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteemi ja aluse külge. Kui viimane on enamikes probleemtingimustes teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteemi h b arvutamiseks kahel juhul:

• kui külgribi pikkus on teada;
• kui püramiidi kõrgus on teada.

Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteem h b määratakse valemiga:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurgale.

Kui püramiidi kõrgus h on teada, saab apoteemi h b arvutada järgmiselt:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Samuti pole selle avaldise saamine keeruline, kui vaadelda püramiidi sees olevat täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad jalad h ja a/2 ning hüpotenuus h b.

Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavat ülesannet.

Probleem teadaoleva pindalaga

On teada, et nelinurkse külgpinna pindala on 108 cm 2. Kui püramiidi kõrgus on 7 cm, on vaja arvutada selle apoteemi pikkus h b.

Kirjutame külgpinna pindala S b kõrguse valemi. Meil on:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Siin asendasime lihtsalt sobiva apoteemi valemi S b avaldisega. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.

A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Nüüd asendame teadaolevad väärtused ja lahendame ruutvõrrandi:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Oleme üles kirjutanud ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed võrdsed:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Apoteemi pikkuse saamiseks kasutage lihtsalt valemit:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √ (7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Cheopsi püramiidi külgpind

Määrame Egiptuse suurima püramiidi külgpinna väärtuse. Teadaolevalt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Ehitise kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendage need arvud S b vastavasse valemisse, saame:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.

Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.

Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.

Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:

Püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber tõmmata ringi, mille aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.

Külgmised servad on võrdsed, kui nad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi ülaosa projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes kallutatud võrdse nurga all.

4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saad sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis tasandi nurkade summa tipus on võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk võrdub π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Seos püramiidi ja sfääri vahel

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Alati on võimalik kirjeldada sfääri mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ja silindri suhe

Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma) on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suurem alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder) on püramiid, mille kolm tahku ja põhi on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.

Definitsioon. Kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. Tähepüramiid nimetatakse hulktahukaks, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- hulktahukas, mis koosneb kahest erinevast püramiidist (püramiide ​​saab ka ära lõigata), millel on ühine alus ja mille tipud asuvad põhitasandi vastaskülgedel.

Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistudes tuleb õpilastel süstematiseerida oma algebra ja geomeetria teadmised. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Veelgi enam, alustades alus- ja külgservadest kuni kogu pinnani. Kui külgpindade olukord on selge, kuna need on kolmnurgad, on alus alati erinev.

Kuidas leida püramiidi aluse pindala?

See võib olla täiesti ükskõik milline kujund: suvalisest kolmnurgast kuni n-nurgani. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline kujund või ebakorrapärane. Kooliõpilasi huvitavates ühtse riigieksami ülesannetes on aluses vaid õigete arvudega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.

Regulaarne kolmnurk

See tähendab, võrdkülgne. See, mille kõik küljed on võrdsed ja mida tähistatakse tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:

S = (a 2 * √3) / 4.

Ruut

Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:

Suvaline korrapärane n-nurk

Hulknurga küljel on sama tähistus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina tähte n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Mida teha külg- ja kogupindala arvutamisel?

Kuna alus on tavaline kujund, on püramiidi kõik küljed võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgmise pindala arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomialide summast. Terminite arv määratakse aluse külgede arvu järgi.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Külgpinna üldvalem on järgmine:

S = ½ P*A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.

On olukordi, kus aluse küljed pole teada, kuid külgservad (c) ja selle tipu tasane nurk (α) on antud. Seejärel peate püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama järgmist valemit:

S = n/2 * 2 sin α .

Ülesanne nr 1

Seisund. Leidke püramiidi kogupindala, kui selle aluse külg on 4 cm ja apoteemi väärtus on √3 cm.

Lahendus. Alustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna tegemist on korrapärase kolmnurgaga, siis P = 3*4 = 12 cm. Kuna apoteem on teada, saame kohe välja arvutada kogu külgpinna pindala: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Põhjas oleva kolmnurga jaoks saate järgmise pindala väärtuse: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Kogu ala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Vastus. 10√3 cm 2.

Probleem nr 2

Seisund. Seal on tavaline nelinurkne püramiid. Aluskülje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. On vaja välja selgitada selle pindala.

Lahendus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, on selle alus ruut. Kui teate aluse ja külgpindade pindala, saate arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade jaoks on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.

Esimesed arvutused on lihtsad ja annavad järgmise arvu: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.

Selgub: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Vastus. Soovitud väärtus on 267,576 mm 2.

Probleem nr 3

Seisund. Tavalise nelinurkse püramiidi jaoks peate arvutama pindala. Väljaku külg on teatavasti 6 cm ja kõrgus 4 cm.

Lahendus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.

Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja arvestama, et selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg on võrdne poole ruudu küljega, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.

Nõutav apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on võrdne √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nüüd saate arvutada vajaliku väärtuse: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Vastus. 96 cm 2.

Probleem nr 4

Seisund.Õige külg on antud, selle aluse küljed on 22 mm, külgmised servad on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpindala?

Lahendus. Põhjendus selles on sama, mis ülesandes nr 2 kirjeldatud. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.

Esiteks arvutatakse baaspindala ülaltoodud valemi abil: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22+61*2):2 = 72 cm. Jääb üle ainult Heroni valemi abil arvutada iga sellise kolmnurga pindala, korrutada see kuuega ja liita see aluse jaoks saadud pindalaga.

Arvutused Heroni valemi abil: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpinna pindala: 660 * 6 = 3960 cm 2. Kogu pinna väljaselgitamiseks tuleb need kokku liita: 5217,47≈5217 cm 2.

Vastus. Alus on 726√3 cm 2, külgpind on 3960 cm 2, kogu pindala on 5217 cm 2.