Cum să găsiți aria unei formule de piramidă patruunghiulară obișnuită. Aria unei piramide patruunghiulare

Instrucțiuni

În primul rând, merită să înțelegem că suprafața laterală a piramidei este reprezentată de mai multe triunghiuri, ale căror zone pot fi găsite folosind o varietate de formule, în funcție de datele cunoscute:

S = (a*h)/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;

S = a*b*sinβ, unde a, b sunt laturile triunghiului, iar β este unghiul dintre aceste laturi;

S = (r*(a + b + c))/2, unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar r este raza cercului înscris în acest triunghi;

S = (a*b*c)/4*R, unde R este raza triunghiului circumscris cercului;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (dacă triunghiul este dreptunghic);

S = S = (a²*√3)/4 (dacă triunghiul este echilateral).

De fapt, acestea sunt doar cele mai de bază formule cunoscute pentru a găsi aria unui triunghi.

După ce ați calculat ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei folosind formulele de mai sus, puteți începe să calculați aria acestei piramide. Acest lucru se face extrem de simplu: trebuie să însumați zonele tuturor triunghiurilor care formează suprafața laterală a piramidei. Aceasta poate fi exprimată prin formula:

Sp = ΣSi, unde Sp este aria suprafeței laterale, Si este aria triunghiului i, care face parte din suprafața sa laterală.

Pentru o mai mare claritate, putem lua în considerare un mic exemplu: având în vedere o piramidă regulată, ale cărei fețe laterale sunt formate din triunghiuri echilaterale, iar la baza ei se află un pătrat. Lungimea marginii acestei piramide este de 17 cm. Este necesar să găsiți aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Rezolvare: se cunoaște lungimea muchiei acestei piramide, se știe că fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Astfel, putem spune că toate laturile tuturor triunghiurilor de pe suprafața laterală sunt egale cu 17 cm. Prin urmare, pentru a calcula aria oricăruia dintre aceste triunghiuri, va trebui să aplicați formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Se știe că la baza piramidei se află un pătrat. Astfel, este clar că există patru triunghiuri echilaterale date. Apoi, aria suprafeței laterale a piramidei se calculează după cum urmează:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspuns: Suprafața laterală a piramidei este de 500,548 cm²

Mai întâi, să calculăm aria suprafeței laterale a piramidei. Suprafața laterală este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Dacă aveți de-a face cu o piramidă obișnuită (adică una care are un poligon regulat la bază, iar vârful este proiectat în centrul acestui poligon), atunci pentru a calcula întreaga suprafață laterală este suficient să înmulțiți perimetrul de baza (adică suma lungimilor tuturor laturilor poligonului situat la piramida bazei) la înălțimea feței laterale (altfel numită apotema) și împărțiți valoarea rezultată la 2: Sb = 1/2P* h, unde Sb este aria suprafeței laterale, P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema).

Dacă aveți o piramidă arbitrară în fața dvs., va trebui să calculați separat ariile tuturor fețelor și apoi să le însumați. Deoarece fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri, utilizați formula pentru aria unui triunghi: S=1/2b*h, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea. Când s-au calculat ariile tuturor fețelor, tot ce rămâne este să le adunăm pentru a obține aria suprafeței laterale a piramidei.

Apoi trebuie să calculați aria bazei piramidei. Alegerea formulei de calcul depinde de poligonul care se află la baza piramidei: regulat (adică unul cu toate laturile de aceeași lungime) sau neregulat. Aria unui poligon obișnuit poate fi calculată prin înmulțirea perimetrului cu raza cercului înscris în poligon și împărțind valoarea rezultată la 2: Sn = 1/2P*r, unde Sn este aria poligonului. poligon, P este perimetrul și r este raza cercului înscris în poligon.

O trunchi de piramidă este un poliedru care este format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza. Găsirea suprafeței laterale a piramidei nu este deloc dificilă. Este foarte simplu: aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor cu . Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale. Să presupunem că ni se oferă o piramidă obișnuită. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Pentru a găsi aria suprafeței laterale a piramidei, trebuie mai întâi să găsiți perimetrul bazelor. Într-o bază mare va fi egal cu p1=4b=4*5=20 cm.Într-o bază mai mică formula va fi următoarea: p2=4c=4*3=12 cm.Deci aria va fi egală cu : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

Suprafața totală a suprafeței laterale a unei piramide este formată din suma suprafețelor fețelor sale laterale.

Într-o piramidă patruunghiulară, există două tipuri de fețe - un patrulater la bază și triunghiuri cu un vârf comun, care formează suprafața laterală.
Mai întâi trebuie să calculați aria fețelor laterale. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza formula pentru aria unui triunghi sau puteți folosi și formula pentru aria suprafeței unei piramide patrulatere (doar dacă poliedrul este regulat). Dacă piramida este regulată și se cunoaște lungimea muchiei a bazei și apotema h desenată la ea, atunci:

Dacă, conform condițiilor, sunt date lungimea muchiei c a unei piramide obișnuite și lungimea laturii bazei a, atunci puteți găsi valoarea folosind următoarea formulă:

Dacă sunt date lungimea muchiei de la bază și unghiul ascuțit opus acesteia în partea de sus, atunci aria suprafeței laterale poate fi calculată prin raportul dintre pătratul laturii a și cosinusul dublu a jumătate din unghiul α:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței unei piramide patrulatere prin marginea laterală și latura bazei.

Problemă: Să fie dată o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea marginii b = 7 cm, lungimea laturii bazei a = 4 cm. Înlocuiți valorile date în formula:

Am arătat calculele ariei unei fețe laterale pentru o piramidă obișnuită. Respectiv. Pentru a găsi aria întregii suprafețe, trebuie să înmulțiți rezultatul cu numărul de fețe, adică cu 4. Dacă piramida este arbitrară și fețele sale nu sunt egale între ele, atunci aria trebuie calculată. pentru fiecare parte individuală. Dacă baza este un dreptunghi sau un paralelogram, atunci merită să ne amintim proprietățile lor. Laturile acestor figuri sunt paralele în perechi și, în consecință, fețele piramidei vor fi, de asemenea, identice în perechi.
Formula pentru aria bazei unei piramide patruunghiulare depinde direct de patrulaterul care se află la bază. Dacă piramida este corectă, atunci aria bazei este calculată folosind formula, dacă baza este un romb, atunci va trebui să vă amintiți cum se află. Dacă există un dreptunghi la bază, atunci găsirea zonei acestuia va fi destul de simplă. Este suficient să cunoașteți lungimile laturilor bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide patruunghiulare.

Problemă: Să se dea o piramidă, la baza căreia se află un dreptunghi cu laturile a = 3 cm, b = 5 cm. Se coboară o apotema din vârful piramidei spre fiecare dintre laturi. h-a =4 cm, h-b =6 cm Vârful piramidei se află pe aceeași linie cu punctul de intersecție al diagonalelor. Aflați aria totală a piramidei.
Formula pentru aria unei piramide patruunghiulare constă din suma ariilor tuturor fețelor și aria bazei. Mai întâi, să găsim zona bazei:


Acum să ne uităm la părțile laterale ale piramidei. Sunt identice în perechi, deoarece înălțimea piramidei intersectează punctul de intersecție al diagonalelor. Adică, în piramida noastră există două triunghiuri cu baza a și înălțimea h-a, precum și două triunghiuri cu baza b și înălțimea h-b. Acum să găsim aria triunghiului folosind formula binecunoscută:


Acum să realizăm un exemplu de calcul al ariei unei piramide patrulatere. În piramida noastră cu un dreptunghi la bază, formula ar arăta astfel:

Piramida triunghiulara este un poliedru a cărui bază este un triunghi regulat.

Într-o astfel de piramidă, marginile bazei și marginile laturilor sunt egale între ele. În consecință, aria fețelor laterale se găsește din suma ariilor a trei triunghiuri identice. Puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite folosind formula. Și puteți face calculul de câteva ori mai rapid. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați formula pentru zona suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare:

unde p este perimetrul bazei, ale cărei toate laturile sunt egale cu b, a este apotema coborâtă de la vârf la această bază. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă obișnuită. Latura triunghiului de la bază este b = 4 cm. Apotema piramidei este a = 7 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Deoarece, în funcție de condițiile problemei, cunoaștem lungimile tuturor elementelor necesare, vom găsi perimetrul. Ne amintim că într-un triunghi obișnuit toate laturile sunt egale și, prin urmare, perimetrul este calculat cu formula:

Să înlocuim datele și să găsim valoarea:

Acum, cunoscând perimetrul, putem calcula aria suprafeței laterale:

Pentru a aplica formula pentru aria unei piramide triunghiulare pentru a calcula valoarea completă, trebuie să găsiți aria bazei poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula:

Formula pentru aria bazei unei piramide triunghiulare poate fi diferită. Este posibil să utilizați orice calcul al parametrilor pentru o anumită cifră, dar cel mai adesea acest lucru nu este necesar. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Într-o piramidă obișnuită, latura triunghiului de la bază este a = 6 cm. Calculați aria bazei.
Pentru a calcula, avem nevoie doar de lungimea laturii triunghiului regulat situat la baza piramidei. Să înlocuim datele în formula:

Destul de des trebuie să găsiți aria totală a unui poliedru. Pentru a face acest lucru, va trebui să adăugați zona suprafeței laterale și a bazei.

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă triunghiulară regulată. Latura bazei este b = 4 cm, apotema este a = 6 cm. Aflați aria totală a piramidei.
Mai întâi, să găsim aria suprafeței laterale folosind formula deja cunoscută. Să calculăm perimetrul:

Înlocuiți datele în formula:
Acum să găsim aria bazei:
Cunoscând aria bazei și a suprafeței laterale, găsim aria totală a piramidei:

Când calculați aria unei piramide obișnuite, nu trebuie să uitați că baza este un triunghi regulat și multe elemente ale acestui poliedru sunt egale între ele.

este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm.Apotema a = 5 cm.Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în diferite moduri. Puteți aplica formula obișnuită de calcul folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața bazei b = 2 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria unei piramide trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema: