Kā atrast parastās piramīdas pamatnes laukumu. Četrstūra piramīdas laukums

Piramīdas virsmas laukums. Šajā rakstā mēs aplūkosim problēmas ar parastajām piramīdām. Atgādināšu, ka regulāra piramīda ir piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris, piramīdas virsotne ir projicēta šī daudzstūra centrā.

Šādas piramīdas sānu mala ir vienādsānu trīsstūris.Šī trīsstūra augstumu, kas novilkts no regulāras piramīdas virsotnes, sauc par apotēmu, SF - apotēmu:

Tālāk norādītajā problēmas veidā jums jāatrod visas piramīdas virsmas laukums vai tās sānu virsmas laukums. Blogā jau ir apspriestas vairākas problēmas ar parastajām piramīdām, kur jautājums bija par elementu atrašanu (augstums, pamatnes mala, sānu mala).

Vienotā valsts eksāmena uzdevumos parasti tiek pārbaudītas regulāras trīsstūra, četrstūra un sešstūra piramīdas. Es neesmu redzējis nekādas problēmas ar regulārām piecstūra un septiņstūra piramīdām.

Visas virsmas laukuma formula ir vienkārša - jums jāatrod piramīdas pamatnes laukuma un tās sānu virsmas laukuma summa:

Apskatīsim uzdevumus:

Parastas četrstūra piramīdas pamatnes malas ir 72, sānu malas ir 164. Atrodiet šīs piramīdas virsmas laukumu.

Piramīdas virsmas laukums ir vienāds ar sānu virsmas un pamatnes laukumu summu:

*Sānu virsma sastāv no četriem vienāda laukuma trīsstūriem. Piramīdas pamats ir kvadrāts.

Mēs varam aprēķināt piramīdas malas laukumu, izmantojot:

Tādējādi piramīdas virsmas laukums ir:

Atbilde: 28224

Regulāras sešstūra piramīdas pamatnes malas ir vienādas ar 22, sānu malas ir vienādas ar 61. Atrodiet šīs piramīdas sānu virsmas laukumu.

Regulāras sešstūra piramīdas pamats ir regulārs sešstūris.

Šīs piramīdas sānu virsmas laukums sastāv no sešiem vienādiem trīsstūriem ar malām 61, 61 un 22:

Atradīsim trīsstūra laukumu, izmantojot Herona formulu:

Tādējādi sānu virsmas laukums ir:

Atbilde: 3240

*Iepriekš parādītajās problēmās sānu virsmas laukumu var atrast, izmantojot citu trīsstūra formulu, taču šim nolūkam ir jāaprēķina apotēma.

27155. Atrodi virsmas laukumu regulārai četrstūra piramīdai, kuras pamatnes malas ir 6 un augstums ir 4.

Lai atrastu piramīdas virsmas laukumu, mums jāzina pamatnes laukums un sānu virsmas laukums:

Pamatnes laukums ir 36, jo tas ir kvadrāts ar 6 malu.

Sānu virsma sastāv no četrām skaldnēm, kas ir vienādi trīsstūri. Lai atrastu šāda trīsstūra laukumu, jums jāzina tā pamatne un augstums (apotēms):

*Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes un augstuma reizinājuma, kas novilkts uz šo pamatni.

Bāze ir zināma, tā ir vienāda ar sešām. Atradīsim augstumu. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri (izcelts dzeltenā krāsā):

Viena kāja ir vienāda ar 4, jo tas ir piramīdas augstums, otra ir vienāda ar 3, jo tā ir vienāda ar pusi no pamatnes malas. Mēs varam atrast hipotenūzu, izmantojot Pitagora teorēmu:

Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:

Tādējādi visas piramīdas virsmas laukums ir:

Atbilde: 96

27069. Regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malas ir vienādas ar 10, sānu malas ir vienādas ar 13. Atrodiet šīs piramīdas virsmas laukumu.

27070. Regulāras sešstūra piramīdas pamatnes malas ir vienādas ar 10, sānu malas ir vienādas ar 13. Atrodiet šīs piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ir arī formulas regulāras piramīdas sānu virsmas laukumam. Parastā piramīdā pamatne ir sānu virsmas ortogonāla projekcija, tāpēc:

P- bāzes perimetrs, l- piramīdas apotēma

*Šīs formulas pamatā ir trijstūra laukuma formula.

Ja vēlaties uzzināt vairāk par to, kā šīs formulas tiek iegūtas, nepalaidiet to garām, sekojiet rakstu publicēšanai.Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Pirms izpētīt jautājumus par šo ģeometrisko figūru un tā īpašībām, jums vajadzētu saprast dažus terminus. Kad cilvēks dzird par piramīdu, viņš iztēlojas milzīgas ēkas Ēģiptē. Šādi izskatās vienkāršākie. Bet tiem ir dažādi veidi un formas, kas nozīmē, ka ģeometrisko formu aprēķina formula būs atšķirīga.

Piramīda - ģeometriska figūra, kas apzīmē un pārstāv vairākas sejas. Būtībā tas ir tas pats daudzskaldnis, kura pamatnē atrodas daudzstūris, un sānos ir trīsstūri, kas savienojas vienā punktā - virsotnē. Attēlam ir divi galvenie veidi:

• pareizi;
• saīsināts.

Pirmajā gadījumā bāze ir regulārs daudzstūris. Šeit visas sānu virsmas ir vienādas starp sevi un pašu figūru iepriecinās perfekcionista aci.

Otrajā gadījumā ir divas pamatnes - liela pašā apakšā un maza starp augšpusi, atkārtojot galvenās formu. Citiem vārdiem sakot, nošķelta piramīda ir daudzskaldnis ar šķērsgriezumu, kas veidots paralēli pamatnei.

Noteikumi un simboli

Pamatjēdzieni:

• Regulārs (vienādmalu) trīsstūris- figūra ar trim vienādiem leņķiem un vienādām malām. Šajā gadījumā visi leņķi ir 60 grādi. Skaitlis ir vienkāršākais no parastajiem daudzskaldņiem. Ja šis skaitlis atrodas pie pamatnes, tad šādu daudzskaldni sauks par regulāru trīsstūri. Ja pamats ir kvadrāts, piramīda tiks saukta par parastu četrstūra piramīdu.
• Virsotne– augstākais punkts, kur saskaras malas. Virsotnes augstumu veido taisna līnija, kas stiepjas no virsotnes līdz piramīdas pamatnei.
• Mala– viena no daudzstūra plaknēm. Tas var būt trijstūra formā trīsstūrveida piramīdas gadījumā vai trapecveida formā nošķeltai piramīdai.
• sadaļa- plakana figūra, kas veidojas sadalīšanas rezultātā. To nevajadzētu jaukt ar sadaļu, jo sadaļa parāda arī to, kas atrodas aiz sadaļas.
• Apotēma- segments, kas novilkts no piramīdas augšas līdz tās pamatnei. Tas ir arī sejas augstums, kur atrodas otrais augstuma punkts. Šī definīcija ir spēkā tikai attiecībā uz regulāru daudzskaldni. Piemēram, ja šī nav nošķelta piramīda, tad seja būs trīsstūris. Šajā gadījumā šī trīsstūra augstums kļūs par apotēmu.

Platības formulas

Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu jebkura veida var izdarīt vairākos veidos. Ja figūra nav simetriska un ir daudzstūris ar dažādām malām, tad šajā gadījumā ir vieglāk aprēķināt kopējo virsmas laukumu caur visu virsmu kopumu. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāaprēķina katras sejas laukums un jāsaskaita.

Atkarībā no tā, kādi parametri ir zināmi, var būt nepieciešamas kvadrāta, trapecveida, patvaļīga četrstūra uc aprēķināšanas formulas. Pašas formulas dažādos gadījumos būs arī atšķirības.

Parastas figūras gadījumā apgabala atrašana ir daudz vienkāršāka. Pietiek zināt tikai dažus galvenos parametrus. Vairumā gadījumu aprēķini ir nepieciešami tieši šādiem skaitļiem. Tāpēc atbilstošās formulas tiks norādītas zemāk. Pretējā gadījumā jums viss būtu jāizraksta vairākās lapās, kas jūs tikai mulsinātu un mulsinātu.

Aprēķinu pamatformula Parastās piramīdas sānu virsmas laukumam būs šāda forma:

S = ½ Pa (P ir pamatnes perimetrs un apotēma)

Apskatīsim vienu piemēru. Daudzskaldnim ir pamatne ar segmentiem A1, A2, A3, A4, A5, un tie visi ir vienādi ar 10 cm. Lai apotēms ir vienāds ar 5 cm. Vispirms jums jāatrod perimetrs. Tā kā visas piecas pamatnes virsmas ir vienādas, varat to atrast šādi: P = 5 * 10 = 50 cm. Tālāk mēs izmantojam pamatformulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kvadrātā.

Regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukums visvieglāk aprēķināt. Formula izskatās šādi:

S =½* ab *3, kur a ir apotēma, b ir pamatnes virsma. Koeficients trīs šeit nozīmē pamatnes virsmu skaitu, un pirmā daļa ir sānu virsmas laukums. Apskatīsim piemēru. Dota figūra ar apotēmu 5 cm un pamatnes malu 8 cm Aprēķinām: S = 1/2*5*8*3=60 cm kvadrātā.

Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums To ir nedaudz grūtāk aprēķināt. Formula izskatās šādi: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, kur p_01 un p_02 ir bāzu perimetrs un ir apotēma. Apskatīsim piemēru. Pieņemsim, ka četrstūra figūrai pamatņu malu izmēri ir 3 un 6 cm, bet apotēma ir 4 cm.

Šeit vispirms jāatrod pamatu perimetri: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Atliek vērtības aizstāt galvenajā formulā un iegūstam: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kvadrātā.

Tādējādi jūs varat atrast jebkuras sarežģītības regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu. Jums vajadzētu būt uzmanīgiem un nejauktšie aprēķini ar visa daudzskaldņa kopējo laukumu. Un, ja jums tas joprojām ir jādara, vienkārši aprēķiniet daudzskaldņa lielākās pamatnes laukumu un pievienojiet to daudzskaldņa sānu virsmas laukumam.

Video

Šis video palīdzēs jums apkopot informāciju par to, kā atrast dažādu piramīdu sānu virsmas laukumu.

Vai nesaņēmāt atbildi uz savu jautājumu? Iesakiet tēmu autoriem.

Tipiskas ģeometriskās problēmas plaknē un trīsdimensiju telpā ir dažādu figūru virsmas laukumu noteikšanas problēmas. Šajā rakstā mēs piedāvājam regulāras četrstūra piramīdas sānu virsmas laukuma formulu.

Kas ir piramīda?

Sniegsim stingru piramīdas ģeometrisko definīciju. Pieņemsim, ka mums ir daudzstūris ar n malām un n leņķiem. Izvēlēsimies patvaļīgu telpas punktu, kas neatradīsies norādītā n-stūra plaknē, un savienosim to ar katru daudzstūra virsotni. Mēs iegūsim figūru ar noteiktu tilpumu, ko sauc par n-stūra piramīdu. Piemēram, zemāk esošajā attēlā parādīsim, kā izskatās piecstūra piramīda.

Divi svarīgi jebkuras piramīdas elementi ir tās pamatne (n-gon) un tās virsotne. Šie elementi ir savienoti viens ar otru ar n trijstūriem, kas kopumā nav vienādi viens ar otru. Perpendikulu, kas nolaižas no augšas uz pamatni, sauc par figūras augstumu. Ja tā krustojas ar pamatni ģeometriskajā centrā (sakrīt ar daudzstūra masas centru), tad šādu piramīdu sauc par taisni. Ja papildus šim nosacījumam pamatne ir regulārs daudzstūris, tad visu piramīdu sauc par regulāru. Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā izskatās parastās piramīdas ar trīsstūrveida, četrstūra, piecstūra un sešstūra pamatnēm.

Piramīdas virsma

Pirms pāriet uz jautājumu par regulāras četrstūra piramīdas sānu virsmas laukumu, mums vajadzētu sīkāk pakavēties pie pašas virsmas jēdziena.

Kā minēts iepriekš un parādīts attēlos, jebkuru piramīdu veido seju vai sānu kopa. Viena mala ir pamatne un n malas ir trijstūri. Visas figūras virsma ir katras tās malas laukumu summa.

Ir ērti izpētīt virsmu, izmantojot figūras attīstības piemēru. Regulāras četrstūra piramīdas attīstība ir parādīta zemāk esošajos attēlos.

Mēs redzam, ka tā virsmas laukums ir vienāds ar četru vienādu vienādsānu trīsstūru laukumu un kvadrāta laukumu summu.

Visu trīsstūru, kas veido figūras malas, kopējo laukumu parasti sauc par sānu virsmas laukumu. Tālāk mēs parādīsim, kā to aprēķināt parastai četrstūra piramīdai.

Četrstūrveida regulāras piramīdas sānu virsmas laukums

Lai aprēķinātu norādītā attēla sānu virsmas laukumu, mēs atkal pievēršamies iepriekš minētajai attīstībai. Pieņemsim, ka zinām kvadrātveida pamatnes malu. Apzīmēsim to ar simbolu a. Var redzēt, ka katram no četriem identiskiem trijstūriem ir a garuma bāze. Lai aprēķinātu to kopējo laukumu, jums jāzina šī viena trīsstūra vērtība. No ģeometrijas kursa mēs zinām, ka trijstūra laukums S t ir vienāds ar pamatnes un augstuma reizinājumu, kas jādala uz pusēm. Tas ir:

Kur h b ir vienādsānu trijstūra augstums, kas novilkts uz pamatni a. Piramīdai šis augstums ir apotēma. Tagad atliek iegūto izteiksmi reizināt ar 4, lai iegūtu attiecīgās piramīdas sānu virsmas laukumu S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Šī formula satur divus parametrus: apotēmu un pamatnes sānu. Ja pēdējais ir zināms lielākajā daļā problēmu, tad pirmais ir jāaprēķina, zinot citus lielumus. Šeit ir formulas apotēmas h b aprēķināšanai diviem gadījumiem:

• kad zināms sānu ribas garums;
• kad ir zināms piramīdas augstums.

Ja sānu malas (viensānu trijstūra malas) garumu apzīmē ar simbolu L, tad apotēmu h b nosaka pēc formulas:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Šī izteiksme ir Pitagora teorēmas pielietošanas rezultāts sānu virsmas trīsstūrim.

Ja ir zināms piramīdas augstums h, tad apotēmu h b var aprēķināt šādi:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Arī šo izteiksmi nav grūti iegūt, ja ņemam vērā taisnleņķa trīsstūri piramīdas iekšpusē, ko veido kājas h un a/2 un hipotenūza h b.

Parādīsim, kā pielietot šīs formulas, risinot divas interesantas problēmas.

Problēma ar zināmo virsmas laukumu

Ir zināms, ka četrstūra sānu virsmas laukums ir 108 cm 2. Nepieciešams aprēķināt tās apotēmas garumu h b, ja piramīdas augstums ir 7 cm.

Uzrakstīsim formulu sānu virsmas laukumam S b augstuma izteiksmē. Mums ir:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Šeit mēs vienkārši aizstājām atbilstošo apotēma formulu S b izteiksmē. Kvadrātēsim abas vienādojuma puses:

S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Lai atrastu a vērtību, mēs mainām mainīgos:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Tagad mēs aizstājam zināmās vērtības un atrisinām kvadrātvienādojumu:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Mēs esam pierakstījuši tikai šī vienādojuma pozitīvo sakni. Tad piramīdas pamatnes malas būs vienādas ar:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Lai iegūtu apotēma garumu, vienkārši izmantojiet formulu:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √ (7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Heopsa piramīdas sānu virsma

Noteiksim lielākās Ēģiptes piramīdas sānu virsmas laukuma vērtību. Ir zināms, ka tā pamatnē atrodas kvadrāts, kura malas garums ir 230,363 metri. Struktūras augstums sākotnēji bija 146,5 metri. Aizstājiet šos skaitļus attiecīgajā S b formulā, mēs iegūstam:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)* 230,363 ≈ 85860 m 2.

Atrastā vērtība ir nedaudz lielāka nekā 17 futbola laukumu platība.

Definīcija. Sānu mala- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.

Definīcija. Sānu ribas- tās ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik daudzstūra leņķu.

Definīcija. Piramīdas augstums- tas ir perpendikuls, kas nolaists no augšas uz piramīdas pamatni.

Definīcija. Apotēma- tas ir perpendikulārs piramīdas sānu virsmai, kas nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes pusi.

Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas virsotni un pamatnes diagonāli.

Definīcija. Pareiza piramīda ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nolaižas līdz pamatnes centram.

Piramīdas tilpums un virsmas laukums

Formula. Piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:

Piramīdas īpašības

Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var novilkt apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomests perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.

Ja visas sānu malas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret pamatnes plakni vienādos leņķos.

Sānu malas ir vienādas, ja tās veido vienādus leņķus ar pamatnes plakni vai ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.

Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas augšdaļa tiek projicēta tās centrā.

Ja sānu virsmas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.

Regulāras piramīdas īpašības

1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.

2. Visas sānu malas ir vienādas.

3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.

4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.

5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.

6. Visām skaldnēm ir vienādi divvirsmas (plakanie) leņķi.

7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Ierobežotās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.

8. Jūs varat ievietot sfēru piramīdā. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.

9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar norobežotās sfēras centru, tad plaknes leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π/n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.

Piramīdas un sfēras savienojums

Ap piramīdu var aprakstīt lodi, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.

Vienmēr ir iespējams aprakstīt sfēru ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.

Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.

Piramīdas savienojums ar konusu

Tiek uzskatīts, ka konuss ir ierakstīts piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.

Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas viena ar otru.

Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.

Ap piramīdu var aprakstīt konusu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.

Piramīdas un cilindra attiecības

Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.

Cilindru var aprakstīt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.

Definīcija. Nošķelta piramīda (piramīdveida prizma) ir daudzskaldnis, kas atrodas starp piramīdas pamatni un griezuma plakni, kas ir paralēla pamatnei. Tādējādi piramīdai ir lielāka pamatne un mazāka pamatne, kas ir līdzīga lielākajai. Sānu virsmas ir trapecveida.

Definīcija. Trīsstūrveida piramīda (tetraedrs) ir piramīda, kurā trīs skaldnes un pamatne ir patvaļīgi trīsstūri.

Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.

Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūra leņķis.

Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).

Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).

Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānas tiek sadalītas uz pusēm, un mediānas tiek sadalītas proporcijā 3: 1, sākot no augšas.

Definīcija. Slīpa piramīda ir piramīda, kuras viena no malām ar pamatni veido neasu leņķi (β).

Definīcija. Taisnstūra piramīda ir piramīda, kurā viena no sānu virsmām ir perpendikulāra pamatnei.

Definīcija. Akūta leņķa piramīda- piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Stulba piramīda- piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Regulārs tetraedrs- tetraedrs, kurā visas četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulārajiem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.

Definīcija. Taisnstūra tetraedrs sauc par tetraedru, kura virsotnē starp trim malām ir taisns leņķis (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūra leņķis un skaldnes ir taisnleņķa trīsstūri, un pamatne ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.

Definīcija. Izoedrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru, un pamats ir regulārs trīsstūris. Šādam tetraedram ir sejas, kas ir vienādsānu trīsstūri.

Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikuli), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo virsmu, krustojas vienā punktā.

Definīcija. Zvaigžņu piramīda sauc par daudzskaldni, kura pamats ir zvaigzne.

Definīcija. Bipiramīda- daudzskaldnis, kas sastāv no divām dažādām piramīdām (piramīdas var arī nogriezt), kurām ir kopīgs pamats, un virsotnes atrodas pretējās pamatplaknes pusēs.

Gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, skolēniem ir jāsistematizē savas zināšanas algebrā un ģeometrijā. Es vēlētos apvienot visu zināmo informāciju, piemēram, par to, kā aprēķināt piramīdas laukumu. Turklāt, sākot no pamatnes un sānu malām līdz visai virsmas laukumam. Ja situācija ar sānu virsmām ir skaidra, jo tie ir trīsstūri, tad pamatne vienmēr ir atšķirīga.

Kā atrast piramīdas pamatnes laukumu?

Tas var būt pilnīgi jebkurš skaitlis: no patvaļīga trīsstūra līdz n-stūrim. Un šī bāze papildus leņķu skaita atšķirībām var būt parasta figūra vai neregulāra. Vienotā valsts eksāmena uzdevumos, kas interesē skolēnus, pamatā ir tikai uzdevumi ar pareiziem cipariem. Tāpēc mēs runāsim tikai par tiem.

Regulārs trīsstūris

Tas ir, vienādmalu. Tā, kurā visas puses ir vienādas un apzīmētas ar burtu “a”. Šajā gadījumā piramīdas pamatnes laukumu aprēķina pēc formulas:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrāts

Tās laukuma aprēķināšanas formula ir visvienkāršākā, šeit “a” atkal ir puse:

Patvaļīgs regulārs n-gon

Daudzstūra malai ir tāds pats apzīmējums. Leņķu skaitam tiek izmantots latīņu burts n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Ko darīt, aprēķinot sānu un kopējo virsmas laukumu?

Tā kā pamatne ir regulāra figūra, visas piramīdas malas ir vienādas. Turklāt katrs no tiem ir vienādsānu trīsstūris, jo sānu malas ir vienādas. Tad, lai aprēķinātu piramīdas sānu laukumu, jums būs nepieciešama formula, kas sastāv no identisku monomu summas. Terminu skaitu nosaka pamatnes malu skaits.

Vienādsānu trīsstūra laukumu aprēķina pēc formulas, kurā puse no pamatnes reizinājuma tiek reizināta ar augstumu. Šo piramīdas augstumu sauc par apotēmu. Tās apzīmējums ir “A”. Sānu virsmas laukuma vispārīgā formula ir:

S = ½ P*A, kur P ir piramīdas pamatnes perimetrs.

Ir situācijas, kad nav zināmas pamatnes malas, bet ir dotas sānu malas (c) un plakanais leņķis tās virsotnē (α). Pēc tam, lai aprēķinātu piramīdas sānu laukumu, jāizmanto šāda formula:

S = n/2 * 2 sin α .

Uzdevums Nr.1

Stāvoklis. Atrodiet piramīdas kopējo laukumu, ja tās pamatnes mala ir 4 cm un apotēma ir √3 cm.

Risinājums. Jums jāsāk, aprēķinot pamatnes perimetru. Tā kā šis ir regulārs trīsstūris, tad P = 3*4 = 12 cm. Tā kā apotēms ir zināms, mēs varam uzreiz aprēķināt visas sānu virsmas laukumu: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Trijstūrim pie pamatnes tiek iegūta šāda laukuma vērtība: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Lai noteiktu visu laukumu, jums būs jāpievieno divas iegūtās vērtības: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Atbilde. 10√3 cm2.

Problēma Nr.2

Stāvoklis. Ir regulāra četrstūra piramīda. Pamatnes malas garums ir 7 mm, sānu malas garums ir 16 mm. Ir nepieciešams noskaidrot tā virsmas laukumu.

Risinājums. Tā kā daudzskaldnis ir četrstūrveida un regulārs, tā pamats ir kvadrāts. Kad jūs zināt pamatnes un sānu virsmu laukumu, jūs varēsit aprēķināt piramīdas laukumu. Kvadrāta formula ir dota iepriekš. Un sānu virsmām ir zināmas visas trīsstūra malas. Tāpēc to apgabalu aprēķināšanai varat izmantot Herona formulu.

Pirmie aprēķini ir vienkārši un noved pie šāda skaitļa: 49 mm 2. Otrajai vērtībai jums būs jāaprēķina pusperimetrs: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Tagad jūs varat aprēķināt vienādsānu trīsstūra laukumu: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Ir tikai četri šādi trīsstūri, tāpēc, aprēķinot galīgo skaitli, jums tas būs jāreizina ar 4.

Izrādās: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Atbilde. Vēlamā vērtība ir 267,576 mm2.

Problēma Nr.3

Stāvoklis. Parastai četrstūra piramīdai ir jāaprēķina laukums. Zināms, ka kvadrāta mala ir 6 cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Vienkāršākais veids ir izmantot formulu ar perimetra un apotēmas reizinājumu. Pirmo vērtību ir viegli atrast. Otrais ir nedaudz sarežģītāks.

Mums būs jāatceras Pitagora teorēma un jāapsver, ka to veido piramīdas augstums un apotēma, kas ir hipotenūza. Otrā kāja ir vienāda ar pusi no kvadrāta malas, jo daudzskaldņa augstums iekrīt tā vidū.

Nepieciešamā apotēma (taisnstūra trīsstūra hipotenūza) ir vienāda ar √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Tagad varat aprēķināt nepieciešamo vērtību: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Atbilde. 96 cm2.

Problēma Nr.4

Stāvoklis. Ir dota pareizā puse, tās pamatnes malas ir 22 mm, sānu malas ir 61 mm. Kāds ir šī daudzskaldņa sānu virsmas laukums?

Risinājums. Pamatojums tajā ir tāds pats kā uzdevumā Nr.2 aprakstītais. Tikai tur tika dota piramīda ar kvadrātu pie pamatnes, un tagad tā ir sešstūris.

Pirmkārt, bāzes laukumu aprēķina, izmantojot iepriekš minēto formulu: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Tagad jums ir jānoskaidro vienādsānu trijstūra, kas ir sānu seja, pusperimetrs. (22+61*2):2 = 72 cm. Atliek tikai izmantot Herona formulu, lai aprēķinātu katra šāda trijstūra laukumu, un pēc tam to reizināt ar sešiem un pievienot pamatnei iegūtajam.

Aprēķini, izmantojot Herona formulu: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Aprēķini, kas dos sānu virsmas laukumu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Atliek tos saskaitīt, lai uzzinātu visu virsmu: 5217,47≈5217 cm 2.

Atbilde. Pamatne 726√3 cm2, sānu virsma 3960 cm2, visa platība 5217 cm2.