Come trovare l'area della base di una piramide regolare. Area di una piramide quadrangolare
Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.
La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:
Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).
I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.
La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:
Consideriamo i compiti:
I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.
La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:
*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.
Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:
Pertanto, la superficie della piramide è:
Risposta: 28224
I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.
La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.
La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:
Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:
Pertanto la superficie laterale è:
Risposta: 3240
*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.
27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.
Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:
L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.
La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):
*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.
La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):
Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:
Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:
Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:
Risposta: 96
27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.
27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.
Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:
P- perimetro della base, l- apotema della piramide
*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.
Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!
Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.
P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.
Prima di studiare le domande su questa figura geometrica e sulle sue proprietà, dovresti comprendere alcuni termini. Quando una persona sente parlare di una piramide, immagina enormi edifici in Egitto. Ecco come appaiono quelli più semplici. Ma ne esistono di diversi tipi e forme, il che significa che la formula di calcolo per le forme geometriche sarà diversa.
Piramide - figura geometrica, che denota e rappresenta diversi volti. In sostanza, questo è lo stesso poliedro, alla base del quale si trova un poligono, e sui lati ci sono triangoli che si collegano in un punto: il vertice. La figura è disponibile in due tipologie principali:
- corretto;
- troncato.
Nel primo caso la base è un poligono regolare. Qui tutte le superfici laterali sono uguali tra loro e la figura stessa piaceranno all'occhio di un perfezionista.
Nel secondo caso, ci sono due basi: una grande nella parte inferiore e una piccola nella parte superiore, che ripete la forma di quella principale. In altre parole, una piramide tronca è un poliedro con una sezione trasversale parallela alla base.
Termini e simboli
Parole chiave:
- Triangolo regolare (equilatero).- una figura con tre angoli uguali e lati uguali. In questo caso, tutti gli angoli sono di 60 gradi. La figura è il più semplice dei poliedri regolari. Se questa figura si trova alla base, tale poliedro verrà chiamato triangolare regolare. Se la base è quadrata la piramide si chiamerà piramide quadrangolare regolare.
- Vertice– il punto più alto in cui i bordi si incontrano. L'altezza dell'apice è formata da una linea retta che si estende dall'apice alla base della piramide.
- Bordo– uno dei piani del poligono. Può avere la forma di un triangolo nel caso di una piramide triangolare, o di un trapezio nel caso di una piramide tronca.
- Sezione- una figura piatta formata a seguito della dissezione. Non deve essere confuso con una sezione, poiché una sezione mostra anche cosa c'è dietro la sezione.
- Apotema- un segmento disegnato dalla sommità della piramide alla sua base. È anche l'altezza del viso in cui si trova il secondo punto di altezza. Questa definizione è valida solo in relazione ad un poliedro regolare. Ad esempio, se questa non è una piramide tronca, la faccia sarà un triangolo. In questo caso, l'altezza di questo triangolo diventerà l'apotema.
Formule di area
Trova l'area della superficie laterale della piramide qualsiasi tipo può essere eseguito in diversi modi. Se la figura non è simmetrica ed è un poligono con lati diversi, in questo caso è più semplice calcolare la superficie totale attraverso la totalità di tutte le superfici. In altre parole, devi calcolare l'area di ciascuna faccia e sommarle.
A seconda dei parametri conosciuti, potrebbero essere necessarie formule per il calcolo di un quadrato, trapezio, quadrilatero arbitrario, ecc. Le formule stesse in diversi casi avranno anche delle differenze.
Nel caso di una figura regolare, trovare l'area è molto più semplice. È sufficiente conoscere solo alcuni parametri chiave. Nella maggior parte dei casi, sono richiesti calcoli specifici per tali cifre. Pertanto di seguito verranno riportate le formule corrispondenti. Altrimenti dovresti scrivere tutto su più pagine, il che non farebbe altro che confonderti e confonderti.
Formula base per il calcolo La superficie laterale di una piramide regolare avrà la seguente forma:
S=½ Pa (P è il perimetro della base ed è l'apotema)
Diamo un'occhiata a un esempio. Il poliedro ha una base con segmenti A1, A2, A3, A4, A5 e tutti sono uguali a 10 cm. Lascia che l'apotema sia uguale a 5 cm. Per prima cosa devi trovare il perimetro. Poiché tutte e cinque le facce della base sono uguali, puoi trovarla così: P = 5 * 10 = 50 cm Successivamente applichiamo la formula di base: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm quadrati.
Superficie laterale di una piramide triangolare regolare più semplice da calcolare. La formula è simile alla seguente:
S =½* ab *3, dove a è l'apotema, b è la faccia della base. Il fattore tre qui indica il numero di facce della base e la prima parte è l'area della superficie laterale. Diamo un'occhiata a un esempio. Data una figura con apotema di 5 cm e spigolo di base di 8 cm, calcoliamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm quadrato.
Superficie laterale di una piramide troncaÈ un po' più difficile da calcolare. La formula è simile a questa: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, dove p_01 e p_02 sono i perimetri delle basi ed è l'apotema. Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che per una figura quadrangolare le dimensioni dei lati delle basi sono 3 e 6 cm, e l'apotema è 4 cm.
Qui per prima cosa devi trovare i perimetri delle basi: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Resta da sostituire i valori nella formula principale e otteniamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm quadrato.
Pertanto, puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare di qualsiasi complessità. Dovresti stare attento e non confondere questi calcoli con l'area totale dell'intero poliedro. E se hai ancora bisogno di farlo, basta calcolare l'area della base maggiore del poliedro e sommarla all'area della superficie laterale del poliedro.
video
Questo video ti aiuterà a consolidare le informazioni su come trovare la superficie laterale di diverse piramidi.
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Tipici problemi geometrici nel piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinazione delle aree superficiali di diverse figure. In questo articolo presentiamo la formula per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.
Cos'è una piramide?
Diamo una definizione geometrica rigorosa di piramide. Supponiamo di avere un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non si troverà nel piano dell'n-gono specificato e colleghiamolo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura con un certo volume, chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura sotto come appare una piramide pentagonale.
I due elementi importanti di ogni piramide sono la base (n-gon) e il suo apice. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. La perpendicolare che scende dall'alto alla base si chiama altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), tale piramide viene chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, allora l'intera piramide si dice regolare. L'immagine qui sotto mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.
Superficie della piramide
Prima di passare alla questione della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, è opportuno soffermarsi più in dettaglio sul concetto di superficie stessa.
Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono i triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.
Conviene studiare una superficie utilizzando l'esempio dello sviluppo di una figura. Lo sviluppo di una piramide quadrangolare regolare è mostrato nelle figure seguenti.
Vediamo che la sua superficie è pari alla somma di quattro aree di triangoli isosceli identici e l'area di un quadrato.
L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati di una figura è solitamente chiamata area della superficie laterale. Successivamente mostreremo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.
Superficie laterale di una piramide regolare quadrangolare
Per calcolare la superficie laterale della figura indicata, torniamo nuovamente allo sviluppo di cui sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può vedere che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. Dal corso di geometria sappiamo che l'area S t di un triangolo è uguale al prodotto della base per l'altezza, che va divisa a metà. Questo è:
Dove h b è l'altezza di un triangolo isoscele disegnato con la base a. Per una piramide, questa altezza è un apotema. Resta ora da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S b della superficie laterale della piramide in questione:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultima è nota nella maggior parte delle condizioni problematiche, la prima deve essere calcolata conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h b per due casi:
- quando è nota la lunghezza della nervatura laterale;
- quando si conosce l'altezza della piramide.
Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h b è determinato dalla formula:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo della superficie laterale.
Se si conosce l'altezza h della piramide, l'apotema h b può essere calcolato come segue:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Non è difficile ottenere questa espressione anche se consideriamo un triangolo rettangolo interno alla piramide, formato dai cateti h e a/2 e dall'ipotenusa h b.
Mostriamo come applicare queste formule risolvendo due problemi interessanti.
Problema con l'area superficiale nota
È noto che l'area della superficie laterale del quadrangolare è di 108 cm 2. È necessario calcolare la lunghezza del suo apotema h b se l'altezza della piramide è di 7 cm.
Scriviamo la formula per l'area S b della superficie laterale in termini di altezza. Abbiamo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Qui abbiamo semplicemente sostituito la formula dell'apotema appropriata nell'espressione per S b. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:
Sb2 = 4*a2 *h2 + a4.
Per trovare il valore di a, effettuiamo un cambio di variabili:
t2 + 4*h2 *t - Sb2 = 0.
Ora sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione quadratica:
t2 + 196*t - 11664 = 0.
Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno uguali a:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Per ottenere la lunghezza dell'apotema basta usare la formula:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Superficie laterale della piramide di Cheope
Determiniamo il valore della superficie laterale della più grande piramide egizia. È noto che alla sua base si trova un quadrato con il lato lungo 230,363 metri. L'altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituiamo questi numeri nella formula corrispondente per S b, otteniamo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.
Il valore riscontrato è leggermente più grande dell’area di 17 campi da calcio.
Definizione. Bordo laterale- questo è un triangolo in cui un angolo si trova nella parte superiore della piramide e il lato opposto coincide con il lato della base (poligono).
Definizione. Costole laterali- questi sono i lati comuni delle facce laterali. Una piramide ha tanti spigoli quanti sono gli angoli di un poligono.
Definizione. Altezza della piramide- questa è una perpendicolare abbassata dalla sommità alla base della piramide.
Definizione. Apotema- questa è una perpendicolare alla faccia laterale della piramide, abbassata dalla sommità della piramide al lato della base.
Definizione. Sezione diagonale- questa è una sezione di una piramide mediante un piano che passa per la sommità della piramide e la diagonale della base.
Definizione. Piramide correttaè una piramide in cui la base è un poligono regolare e l'altezza scende al centro della base.
Volume e area superficiale della piramide
Formula. Volume della piramide attraverso la superficie di base e l'altezza:
Proprietà della piramide
Se tutti i bordi laterali sono uguali, è possibile disegnare un cerchio attorno alla base della piramide e il centro della base coincide con il centro del cerchio. Inoltre, una perpendicolare caduta dall'alto passa per il centro della base (cerchio).
Se tutti i bordi laterali sono uguali, sono inclinati rispetto al piano della base con gli stessi angoli.
Gli spigoli laterali sono uguali quando formano angoli uguali con il piano della base o se attorno alla base della piramide si può descrivere un cerchio.
Se le facce laterali sono inclinate rispetto al piano della base con lo stesso angolo, allora è possibile inscrivere un cerchio nella base della piramide e la sommità della piramide viene proiettata al suo centro.
Se le facce laterali sono inclinate rispetto al piano della base dello stesso angolo, gli apotemi delle facce laterali sono uguali.
Proprietà di una piramide regolare
1. La sommità della piramide è equidistante da tutti gli angoli della base.
2. Tutti i bordi laterali sono uguali.
3. Tutte le nervature laterali sono inclinate ad angoli uguali rispetto alla base.
4. Gli apotemi di tutte le facce laterali sono uguali.
5. Le aree di tutte le facce laterali sono uguali.
6. Tutte le facce hanno gli stessi angoli diedrali (piatti).
7. Intorno alla piramide si può descrivere una sfera. Il centro della sfera circoscritta sarà il punto di intersezione delle perpendicolari che passano per il centro dei bordi.
8. Puoi inserire una sfera in una piramide. Il centro della sfera inscritta sarà il punto di intersezione delle bisettrici provenienti dall'angolo tra il bordo e la base.
9. Se il centro della sfera inscritta coincide con il centro della sfera circoscritta, allora la somma degli angoli piani al vertice è uguale a π o viceversa, un angolo è uguale a π/n, dove n è il numero degli angoli alla base della piramide.
La connessione tra la piramide e la sfera
Attorno ad una piramide si può descrivere una sfera quando alla base della piramide c'è un poliedro attorno al quale si può descrivere un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano perpendicolarmente attraverso i punti medi dei bordi laterali della piramide.
È sempre possibile descrivere una sfera attorno a qualsiasi piramide triangolare o regolare.
Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici degli angoli diedri interni della piramide si intersecano in un punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto sarà il centro della sfera.
Collegamento di una piramide con un cono
Un cono si dice inscritto in una piramide se i suoi vertici coincidono e la base del cono è inscritta nella base della piramide.
Un cono può essere inscritto in una piramide se gli apotemi della piramide sono uguali tra loro.
Un cono si dice circoscritto ad una piramide se i loro vertici coincidono e la base del cono è circoscritta alla base della piramide.
Un cono può essere descritto attorno ad una piramide se tutti gli spigoli laterali della piramide sono uguali tra loro.
Relazione tra una piramide e un cilindro
Una piramide si dice inscritta in un cilindro se la sommità della piramide giace su una base del cilindro, e la base della piramide è inscritta in un'altra base del cilindro.
Un cilindro può essere descritto attorno a una piramide se è possibile descrivere un cerchio attorno alla base della piramide.
Un tetraedro ha quattro facce, quattro vertici e sei spigoli, dove due spigoli qualsiasi non hanno vertici comuni ma non si toccano.
Ogni vertice è costituito da tre facce e bordi che si formano angolo triangolare.
Si chiama il segmento che collega il vertice di un tetraedro con il centro della faccia opposta mediana del tetraedro(GM).
Bimediano chiamato segmento che collega i punti medi dei bordi opposti che non si toccano (KL).
Tutte le bimediane e le mediane di un tetraedro si intersecano in un punto (S). In questo caso le bimediane sono divise a metà, e le mediane sono divise in rapporto 3:1 partendo dall'alto.
Definizione. Piramide ad angolo acuto- una piramide in cui l'apotema è lungo più della metà del lato della base.
Definizione. Piramide ottusa- una piramide in cui l'apotema è lungo meno della metà del lato della base.
Definizione. Tetraedro regolare- un tetraedro in cui tutte e quattro le facce sono triangoli equilateri. È uno dei cinque poligoni regolari. In un tetraedro regolare, tutti gli angoli diedri (tra le facce) e gli angoli threedrali (al vertice) sono uguali.
Definizione. Tetraedro rettangolareè chiamato tetraedro in cui c'è un angolo retto tra tre bordi all'apice (i bordi sono perpendicolari). Si formano tre volti angolo triangolare rettangolare e le facce sono triangoli rettangoli e la base è un triangolo arbitrario. L'apotema di qualsiasi faccia è uguale alla metà del lato della base su cui cade l'apotema.
Definizione. Tetraedro isoedrico si chiama tetraedro le cui facce laterali sono uguali tra loro e la base è un triangolo regolare. Un tetraedro di questo tipo ha facce che sono triangoli isosceli.
Definizione. Tetraedro ortocentrico si chiama tetraedro in cui tutte le altezze (perpendicolari) che si abbassano dall'alto verso la faccia opposta si intersecano in un punto.
Definizione. Piramide stellare chiamato poliedro la cui base è una stella.
Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.
Come trovare l'area della base della piramide?
Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.
Triangolo regolare
Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Piazza
La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:
N-gon regolare arbitrario
Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?
Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.
L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:
S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.
Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:
S = n/2 * in 2 sin α .
Compito n. 1
Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.
Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Risposta. 10√3 cm2.
Problema n.2
Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.
Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.
I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.
Risulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.
Problema n.3
Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.
Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.
Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.
L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Risposta. 96 cm2.
Problema n.4
Condizione. Viene fornito il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?
Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.
Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che utilizzare la formula di Erone per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.
Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.
Risposta. La base è 726√3 cm2, la superficie laterale è 3960 cm2, l'area totale è 5217 cm2.
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