วิธีหาพื้นที่ของสูตรปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

คำแนะนำ

ประการแรก ควรทำความเข้าใจว่าพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยมหลายรูปแทน ซึ่งพื้นที่ดังกล่าวสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ:

S = (a*h)/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a;

S = a*b*sinβ โดยที่ a, b คือด้านของสามเหลี่ยม และ β คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้

S = (r*(a + b + c))/2 โดยที่ a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ r คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมนี้

S = (a*b*c)/4*R โดยที่ R คือรัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลม

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก)

S = S = (a²*√3)/4 (หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด)

อันที่จริงนี่เป็นเพียงสูตรพื้นฐานที่สุดที่รู้จักกันดีในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่เป็นหน้าของปิรามิดโดยใช้สูตรข้างต้นแล้ว คุณสามารถเริ่มคำนวณพื้นที่ของปิรามิดนี้ได้ ทำได้ง่ายมาก: คุณต้องบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด สามารถแสดงได้ด้วยสูตร:

Sp = ΣSi โดยที่ Sp คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง Si คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม i-th ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้าง

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ได้ เมื่อพิจารณาจากปิรามิดปกติ ใบหน้าด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า และที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของขอบของปิรามิดนี้คือ 17 ซม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

วิธีแก้ปัญหา: ทราบความยาวของขอบของปิรามิดนี้ เป็นที่รู้กันว่าใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมทั้งหมดบนพื้นผิวด้านข้างมีค่าเท่ากับ 17 ซม. ดังนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ เหล่านี้ คุณจะต้องใช้สูตร:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 ซม.²

เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของปิรามิดนั้นมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ ดังนั้นจึงชัดเจนว่ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กำหนดมาให้สี่รูป จากนั้นคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังนี้:

125.137 ตร.ซม. * 4 = 500.548 ตร.ซม

คำตอบ: พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ 500.548 ตารางเซนติเมตร

ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดกันก่อน พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด หากคุณกำลังเผชิญกับปิรามิดปกติ (นั่นคือปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและจุดยอดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้) จากนั้นในการคำนวณพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะคูณเส้นรอบวงของ ฐาน (นั่นคือ ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานพีระมิด) ด้วยความสูงของหน้าด้านข้าง (หรือเรียกอีกอย่างว่าเส้นตั้งฉากในกึ่งกลาง) และหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sb = 1/2P* h โดยที่ Sb คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง P คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothem)

หากคุณมีปิรามิดใดๆ อยู่ตรงหน้า คุณจะต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแยกกัน แล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน เนื่องจากด้านข้างของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม: S=1/2b*h โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม และ h คือความสูง เมื่อคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือบวกเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

จากนั้นคุณต้องคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด การเลือกสูตรในการคำนวณขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐานของปิรามิด: ปกติ (นั่นคือรูปหนึ่งที่มีความยาวเท่ากันทุกด้าน) หรือไม่สม่ำเสมอ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้โดยการคูณเส้นรอบวงด้วยรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมแล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sn = 1/2P*r โดยที่ Sn คือพื้นที่ของ รูปหลายเหลี่ยม P คือเส้นรอบวง และ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน การหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นไม่ใช่เรื่องยากเลย ง่ายมาก: พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งด้วย ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้าง สมมติว่าเราได้รับปิรามิดปกติ ความยาวของฐานคือ b = 5 ซม., c = 3 ซม. เส้นตั้งฉาก a = 4 ซม. หากต้องการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐานก่อน ในฐานขนาดใหญ่จะเท่ากับ p1=4b=4*5=20 ซม. ในฐานที่เล็กกว่าสูตรจะเป็นดังนี้: p2=4c=4*3=12 ซม. ดังนั้น พื้นที่จะเท่ากับ : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 ซม.

พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม มีใบหน้าสองประเภท ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมที่ฐาน และรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมซึ่งก่อตัวเป็นพื้นผิวด้านข้าง
ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือคุณยังสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม (เฉพาะในกรณีที่รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแบบปกติ) ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติและทราบความยาวของขอบ a ของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน h ที่วาดลงไป แล้ว:

หากตามเงื่อนไขที่กำหนดความยาวของขอบ c ของปิรามิดปกติและความยาวของด้านของฐาน a คุณสามารถค้นหาค่าโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

หากกำหนดความยาวของขอบที่ฐานและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามที่ด้านบน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างสามารถคำนวณได้โดยอัตราส่วนของกำลังสองของด้าน a ต่อโคไซน์สองเท่าของครึ่งหนึ่ง มุม α:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมผ่านขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน

ปัญหา: ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดามา ความยาวขอบ b = 7 ซม. ความยาวด้านฐาน a = 4 ซม. แทนค่าที่กำหนดลงในสูตร:

เราแสดงการคำนวณพื้นที่หน้าด้านหนึ่งของปิรามิดปกติ ตามลำดับ ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดคุณต้องคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน้าซึ่งก็คือ 4 หากปิรามิดเป็นแบบใดก็ได้และหน้าของมันไม่เท่ากันก็ต้องคำนวณพื้นที่ สำหรับแต่ละฝ่าย หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ควรจดจำคุณสมบัติของพวกมัน ด้านข้างของรูปเหล่านี้จะขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นใบหน้าของปิรามิดก็จะเหมือนกันเป็นคู่ด้วย
สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านใดอยู่ที่ฐานโดยตรง หากปิรามิดถูกต้อง พื้นที่ของฐานจะคำนวณโดยใช้สูตร หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คุณจะต้องจำไว้ว่ามันตั้งอยู่อย่างไร หากมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ฐาน การหาพื้นที่จะค่อนข้างง่าย ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านข้างของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดมา โดยที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีด้าน a = 3 ซม., b = 5 ซม. ระยะกึ่งกลางของพีระมิดลดลงจากด้านบนของปิรามิดไปในแต่ละด้าน h-a =4 ซม., h-b =6 ซม. ด้านบนของปิรามิดอยู่ในเส้นเดียวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด
สูตรหาพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของทุกหน้าและพื้นที่ฐาน ก่อนอื่น มาหาพื้นที่ฐานกันก่อน:


ทีนี้มาดูด้านข้างของปิรามิดกัน พวกมันเหมือนกันเป็นคู่ เพราะความสูงของปิรามิดตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม นั่นคือ ในปิรามิดของเรา มีสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐาน a และความสูง h-a เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมอีกสองรูปที่มีฐาน b และความสูง h-b ตอนนี้เรามาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:


ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม ในปิระมิดของเราซึ่งมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ปิรามิดสามเหลี่ยมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

ในปิรามิดดังกล่าว ขอบของฐานและขอบของด้านข้างจะเท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจึงหาได้จากผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เหมือนกันสามรูป คุณสามารถหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติได้โดยใช้สูตร และคุณสามารถคำนวณได้เร็วขึ้นหลายเท่า ในการทำเช่นนี้คุณต้องใช้สูตรสำหรับพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ p คือเส้นรอบวงของฐาน โดยทุกด้านมีค่าเท่ากับ b โดยที่ a คือระยะกึ่งกลางของฐานที่ลดลงจากบนลงสู่ฐานนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดธรรมดามา ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ฐานคือ b = 4 ซม. เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือ a = 7 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิด
เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา เราทราบความยาวขององค์ประกอบที่จำเป็นทั้งหมด เราจะหาเส้นรอบวงได้ เราจำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมปกติทุกด้านเท่ากัน ดังนั้นสูตรจึงคำนวณเส้นรอบวง:

ลองทดแทนข้อมูลและค้นหาค่า:

ตอนนี้เมื่อรู้เส้นรอบวงแล้ว เราก็สามารถคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างได้:

หากต้องการใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมเพื่อคำนวณค่าเต็ม คุณต้องหาพื้นที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร:

สูตรพื้นที่ฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมอาจแตกต่างกัน คุณสามารถใช้การคำนวณพารามิเตอร์สำหรับตัวเลขที่กำหนดได้ แต่ส่วนใหญ่มักไม่จำเป็น ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดสามเหลี่ยม

ปัญหา: ในพีระมิดปกติ ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ฐานคือ = 6 ซม. จงคำนวณพื้นที่ของฐาน
ในการคำนวณ เราต้องใช้เพียงความยาวของด้านของสามเหลี่ยมปกติซึ่งอยู่ที่ฐานของปิรามิดเท่านั้น ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

บ่อยครั้งที่คุณต้องค้นหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเพิ่มพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดามา ด้านฐานคือ b = 4 ซม. ระยะกึ่งกลางคือ a = 6 ซม. จงหาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด
ขั้นแรก ให้เราหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างโดยใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้ว มาคำนวณเส้นรอบวงกัน:

แทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
ตอนนี้เรามาดูพื้นที่ฐานกันดีกว่า:
เมื่อทราบพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้าง เราจะพบพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด:

เมื่อคำนวณพื้นที่ของปิรามิดปกติคุณไม่ควรลืมว่าฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและองค์ประกอบหลายอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีค่าเท่ากัน

เป็นรูปทรงที่มีหลายแง่มุม โดยมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือจะแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกว่าปิระมิด รูปสี่เหลี่ยม, ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม – แล้ว สามเหลี่ยม. ความสูงของปิรามิดนั้นวาดจากด้านบนตั้งฉากกับฐาน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณพื้นที่ ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง– ความสูงของใบหน้าด้านข้างลดลงจากด้านบน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดซึ่งมีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณนี้ใช้น้อยมาก โดยพื้นฐานแล้ว พื้นที่ของปิรามิดจะคำนวณผ่านเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด

ให้พีระมิดมีฐาน ABCDE และ F บนสุด AB =BC =CD =DE =EA =3 ซม. เส้นกึ่งกลาง a = 5 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ลองหาเส้นรอบวง. เนื่องจากขอบของฐานทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น เส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมจึงเท่ากับ:
ตอนนี้คุณสามารถหาพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้:

พื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติประกอบด้วยฐานซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติและมีหน้าด้าน 3 ด้านที่มีพื้นที่เท่ากัน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้หลายวิธี คุณสามารถใช้สูตรการคำนวณตามปกติโดยใช้เส้นรอบวงและระยะกึ่งกลางของด้าน หรือคุณสามารถหาพื้นที่ของหน้าเดียวแล้วคูณด้วยสาม เนื่องจากหน้าของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจึงใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จะต้องมีระยะกึ่งกลางและความยาวของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ให้ปิรามิดที่มีระยะกึ่งกลาง a = 4 ซม. และหน้าฐาน b = 2 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ขั้นแรกให้หาพื้นที่ของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง ในกรณีนี้จะเป็น:
แทนค่าลงในสูตร:
เนื่องจากในปิรามิดปกติทุกด้านจะเท่ากัน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทั้งสามหน้า ตามลำดับ:

พื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ถูกตัดทอนปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นง่ายมาก พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน: