วิธีหาพื้นที่ฐานของปิระมิดปกติ พื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม
พื้นที่ผิวของปิรามิด ในบทความนี้เราจะดูปัญหาของปิรามิดปกติ ฉันขอเตือนคุณว่าปิรามิดปกติคือปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้านบนของปิรามิดถูกยื่นไปตรงกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้
ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงของสามเหลี่ยมนี้ที่ดึงมาจากจุดยอดของปิรามิดปกติเรียกว่า apothem, SF - apothem:
ในประเภทของปัญหาที่นำเสนอด้านล่าง คุณต้องค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดหรือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง บล็อกได้กล่าวถึงปัญหาหลายประการเกี่ยวกับปิรามิดทั่วไปแล้ว โดยคำถามเกี่ยวกับการค้นหาองค์ประกอบต่างๆ (ความสูง ขอบฐาน ขอบด้านข้าง)
งานตรวจสอบสถานะรวมมักจะตรวจสอบปิรามิดสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติ ฉันไม่เห็นปัญหาใด ๆ กับปิรามิดห้าเหลี่ยมและปิรามิดเจ็ดเหลี่ยมทั่วไป
สูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดนั้นง่าย - คุณต้องหาผลรวมของพื้นที่ฐานของปิรามิดและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง:
พิจารณางาน:
ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 72 ขอบด้านข้างคือ 164 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้
พื้นที่ผิวของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน:
*พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันที่มีพื้นที่เท่ากัน ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เราสามารถคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้โดยใช้:
ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดคือ:
คำตอบ: 28224
ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 22 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 61 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้
ฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือฐานหกเหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้ประกอบด้วยพื้นที่ 6 ด้านที่มีสามเหลี่ยมเท่ากัน โดยมีด้าน 61,61 และ 22:
มาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรของเฮรอน:
ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:
คำตอบ: 3240
*จากปัญหาที่นำเสนอข้างต้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างสามารถหาได้โดยใช้สูตรสามเหลี่ยมอื่น แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคำนวณระยะกึ่งกลางของหน้าแข้ง
27155. ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 6 และมีความสูงเป็น 4
ในการหาพื้นที่ผิวของปิรามิด เราต้องรู้พื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวด้านข้าง:
พื้นที่ฐานคือ 36 เนื่องจากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 6
พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่หน้าซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ในการที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูงของมัน (apothem):
*พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่วาดมายังฐานนี้
ฐานรู้แล้วว่ามีค่าเท่ากับหก มาหาความสูงกัน. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เน้นด้วยสีเหลือง):
ขาข้างหนึ่งมีค่าเท่ากับ 4 เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด ส่วนขาอีกข้างมีค่าเท่ากับ 3 เนื่องจากเท่ากับครึ่งหนึ่งของขอบฐาน เราสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:
ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดคือ:
คำตอบ: 96
27069 ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้
27070 ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้
นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติอีกด้วย ในพีระมิดปกติ ฐานคือโครงที่ยื่นออกไปในมุมฉากของพื้นผิวด้านข้าง ดังนั้น:
ป- เส้นรอบวงฐาน ล- แนวกึ่งกลางของปิรามิด
*สูตรนี้อิงจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม
หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการได้มาของสูตรเหล่านี้ อย่าพลาด ติดตามการตีพิมพ์บทความต่างๆนั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
ก่อนที่จะศึกษาคำถามเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตนี้และคุณสมบัติของมัน คุณควรทำความเข้าใจคำศัพท์บางคำก่อน เมื่อมีคนได้ยินเกี่ยวกับปิรามิด เขาจะจินตนาการถึงอาคารขนาดใหญ่ในอียิปต์ นี่คือลักษณะที่ง่ายที่สุด แต่มีหลายประเภทและรูปร่างที่แตกต่างกันซึ่งหมายความว่าสูตรการคำนวณสำหรับรูปทรงเรขาคณิตจะแตกต่างกัน
ปิรามิด - รูปทรงเรขาคณิตแสดงถึงและเป็นตัวแทนของใบหน้าหลายหน้า โดยพื้นฐานแล้วนี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมเดียวกันที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่และด้านข้างมีรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อที่จุดหนึ่ง - จุดยอด รูปมาในสองประเภทหลัก:
- ถูกต้อง;
- ถูกตัดทอน
ในกรณีแรก ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ที่นี่พื้นผิวด้านข้างทั้งหมดเท่ากันระหว่างพวกเขากับรูปร่างของตัวเองจะทำให้สายตาของผู้ชอบความสมบูรณ์แบบ
ในกรณีที่สองมีสองฐาน - ฐานใหญ่ที่ด้านล่างสุดและฐานเล็กระหว่างด้านบนโดยทำซ้ำรูปร่างของฐานหลัก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดขนานกับฐาน
ข้อกำหนดและสัญลักษณ์
คำสำคัญ:
- สามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากันหมด)- รูปที่มีมุมเท่ากันสามมุมและมีด้านเท่ากัน ในกรณีนี้ ทุกมุมจะมีขนาด 60 องศา รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด หากรูปนี้อยู่ที่ฐาน รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะเรียกว่าสามเหลี่ยมปกติ ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พีระมิดจะเรียกว่าปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
- จุดยอด– จุดสูงสุดที่ขอบบรรจบกัน ความสูงของยอดนั้นเกิดจากเส้นตรงที่ทอดยาวจากยอดถึงฐานของปิรามิด
- ขอบ– หนึ่งในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม อาจอยู่ในรูปสามเหลี่ยมในกรณีของปิรามิดรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน
- ส่วน- รูปร่างแบนที่เกิดขึ้นจากการผ่า ไม่ควรสับสนกับส่วน เนื่องจากส่วนจะแสดงสิ่งที่อยู่ด้านหลังส่วนด้วย
- ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง- ส่วนที่ลากจากด้านบนของปิรามิดถึงฐาน นอกจากนี้ยังเป็นความสูงของใบหน้าซึ่งเป็นที่ตั้งของความสูงที่สองด้วย คำจำกัดความนี้ใช้ได้เฉพาะกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากนี่ไม่ใช่ปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ ความสูงของสามเหลี่ยมนี้จะกลายเป็นเส้นตั้งฉากใน
สูตรพื้นที่
ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดประเภทใดก็ได้สามารถทำได้หลายวิธี ถ้ารูปไม่สมมาตรและเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน ในกรณีนี้ จะง่ายกว่าในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดผ่านผลรวมของพื้นผิวทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแล้วบวกเข้าด้วยกัน
อาจจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการคำนวณสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ทราบ สูตรเองในกรณีต่างๆก็จะมีความแตกต่างเช่นกัน
ในกรณีของตัวเลขปกติ การค้นหาพื้นที่จะง่ายกว่ามาก การรู้พารามิเตอร์สำคัญเพียงไม่กี่ตัวก็เพียงพอแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่ การคำนวณจำเป็นสำหรับตัวเลขดังกล่าวโดยเฉพาะ ดังนั้นจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องดังนี้ มิฉะนั้น คุณจะต้องเขียนทุกอย่างลงในหลายๆ หน้า ซึ่งมีแต่จะทำให้คุณสับสนและสับสนเท่านั้น
สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
S=½ Pa (P คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากใน)
ลองดูตัวอย่างหนึ่ง รูปทรงหลายเหลี่ยมมีฐานที่มีส่วน A1, A2, A3, A4, A5 และทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 10 ซม. ให้ระยะกึ่งกลางเท่ากับ 5 ซม. ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวง เนื่องจากฐานทั้งห้าหน้าเหมือนกัน คุณจึงสามารถหาได้ดังนี้: P = 5 * 10 = 50 ซม. ต่อไป เราใช้สูตรพื้นฐาน: S = ½ * 50 * 5 = 125 ซม. กำลังสอง
พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติง่ายที่สุดในการคำนวณ สูตรมีลักษณะดังนี้:
S =½* ab *3 โดยที่ a คือเส้นตั้งฉาก b คือหน้าฐาน ตัวประกอบของสามในที่นี้หมายถึงจำนวนหน้าของฐาน และส่วนแรกคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง ลองดูตัวอย่าง เมื่อกำหนดรูปที่มีระยะกึ่งกลาง 5 ซม. และขอบฐาน 8 ซม. เราคำนวณ: S = 1/2*5*8*3=60 ซม. กำลังสอง
พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนการคำนวณยากขึ้นเล็กน้อย สูตรมีลักษณะดังนี้: S =1/2*(p_01+ p_02)*a โดยที่ p_01 และ p_02 คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากในฐาน ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาดของด้านข้างของฐานคือ 3 และ 6 ซม. และเส้นกึ่งกลางของฐานคือ 4 ซม.
ที่นี่ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐาน: р_01 =3*4=12 ซม.; р_02=6*4=24 ซม. ยังคงแทนที่ค่าลงในสูตรหลักและเราจะได้: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 ซม. กำลังสอง
ดังนั้นคุณสามารถค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติที่มีความซับซ้อนได้ คุณควรระมัดระวังและไม่สับสนการคำนวณเหล่านี้มีพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด และหากคุณยังจำเป็นต้องทำเช่นนี้ เพียงแค่คำนวณพื้นที่ของฐานที่ใหญ่ที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแล้วบวกเข้ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยม
วีดีโอ
วิดีโอนี้จะช่วยคุณรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดต่างๆ
ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน
ปัญหาเรขาคณิตทั่วไปบนเครื่องบินและในพื้นที่สามมิติคือปัญหาในการกำหนดพื้นที่ผิวของตัวเลขต่างๆ ในบทความนี้เรานำเสนอสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
ปิรามิดคืออะไร?
ให้เราให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตที่เข้มงวดของปิรามิด สมมติว่าเรามีรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน n ด้านและมุม n มุม ลองเลือกจุดใดก็ได้ในอวกาศซึ่งจะไม่อยู่ในระนาบของ n-gon ที่ระบุ และเชื่อมต่อกับแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม เราจะได้รูปที่มีปริมาตรหนึ่งซึ่งเรียกว่าปิระมิด n-gonal ตัวอย่างเช่น ลองแสดงในรูปด้านล่างว่าปิระมิดห้าเหลี่ยมมีหน้าตาเป็นอย่างไร
องค์ประกอบที่สำคัญสองประการของพีระมิดคือฐาน (n-gon) และปลายของมัน องค์ประกอบเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกันด้วยรูปสามเหลี่ยม n รูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากัน เส้นตั้งฉากจากบนลงล่างเรียกว่าความสูงของรูป ถ้ามันตัดฐานที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิต (ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของรูปหลายเหลี่ยม) ปิรามิดดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง นอกเหนือจากเงื่อนไขนี้แล้ว หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ พีระมิดทั้งหมดจะเรียกว่าปกติ รูปภาพด้านล่างแสดงลักษณะของปิรามิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และฐานหกเหลี่ยม
พื้นผิวของปิรามิด
ก่อนที่จะไปยังคำถามเกี่ยวกับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติเราควรพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดของพื้นผิวนั้น
ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นและแสดงไว้ในรูปภาพ ปิรามิดใดๆ ก็ตามที่ประกอบขึ้นด้วยชุดของใบหน้าหรือด้านข้าง ด้านหนึ่งเป็นฐาน และด้าน n เป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นผิวของรูปทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของแต่ละด้าน
สะดวกในการศึกษาพื้นผิวโดยใช้ตัวอย่างการพัฒนารูปร่าง การพัฒนาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติแสดงไว้ในภาพด้านล่าง
เราจะเห็นว่าพื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของสี่พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
พื้นที่รวมของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นด้านข้างของรูปมักเรียกว่าพื้นที่ผิวด้านข้าง ต่อไปเราจะแสดงวิธีคำนวณพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ
ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปที่ระบุเราจะหันไปใช้การพัฒนาข้างต้นอีกครั้ง สมมติว่าเรารู้ด้านของฐานสี่เหลี่ยม ลองเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a จะเห็นได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกันทั้งสี่รูปนั้นมีฐานที่ยาว a ในการคำนวณพื้นที่ทั้งหมด คุณจำเป็นต้องทราบค่านี้ของสามเหลี่ยมหนึ่งรูป จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้ว่าพื้นที่ S t ของสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง ซึ่งควรแบ่งออกเป็นสองส่วน นั่นคือ:
โดยที่ h b คือความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐาน a สำหรับปิรามิด ความสูงนี้คือเส้นตั้งฉากใน ตอนนี้ยังคงต้องคูณนิพจน์ผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อให้ได้พื้นที่ S b ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่เป็นปัญหา:
ส ข = 4*ส เสื้อ = 2*ส ข *ก
สูตรนี้ประกอบด้วยพารามิเตอร์ 2 ตัว ได้แก่ เส้นกึ่งกลางของฐานและด้านข้างของฐาน หากทราบค่าอย่างหลังในสภาวะปัญหาส่วนใหญ่ ก็จะต้องคำนวณค่าแรกเพื่อทราบปริมาณอื่น ต่อไปนี้เป็นสูตรในการคำนวณระยะกึ่งกลาง hb สำหรับสองกรณี:
- เมื่อทราบความยาวของซี่โครงด้านข้าง
- เมื่อทราบความสูงของปิรามิดแล้ว
หากเราแสดงความยาวของขอบด้านข้าง (ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ด้วยสัญลักษณ์ L ดังนั้น apothem h b จะถูกกำหนดโดยสูตร:
ชั่วโมง ข = √(ล 2 - ก 2/4)
นิพจน์นี้เป็นผลมาจากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมพื้นผิวด้านข้าง
หากทราบความสูง h ของปิรามิด ก็จะสามารถคำนวณระยะกึ่งกลางของพีระมิดได้ดังนี้:
ชั่วโมง ข = √(ชั่วโมง 2 + ก 2 /4)
การหานิพจน์นี้ไม่ใช่เรื่องยาก ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากภายในพีระมิด ซึ่งประกอบขึ้นจากขา h และ a/2 และด้านตรงข้ามมุมฉาก h b
เรามาแสดงวิธีการใช้สูตรเหล่านี้โดยการแก้ปัญหาที่น่าสนใจสองข้อกัน
ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผิวที่ทราบ
เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 108 ซม. 2 มีความจำเป็นต้องคำนวณความยาวของระยะเอโพเธม h b หากความสูงของปิรามิดคือ 7 ซม.
ให้เราเขียนสูตรสำหรับพื้นที่ S b ของพื้นผิวด้านข้างในรูปของความสูง เรามี:
S ข = 2*√(ซ 2 + ก 2 /4) *ก
ในกรณีนี้ เราเพียงแค่แทนที่สูตรอะโพเธมที่เหมาะสมลงในนิพจน์ของ S b ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:
ส ข 2 = 4*ก 2 *ส 2 + ก 4
ในการค้นหาค่าของ a เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร:
เสื้อ 2 + 4*ชั่วโมง 2 *t - S ข 2 = 0
ตอนนี้เราแทนค่าที่รู้จักและแก้สมการกำลังสอง:
เสื้อ 2 + 196*t - 11664 = 0
เราเขียนไว้เฉพาะรากที่เป็นบวกของสมการนี้ จากนั้นด้านข้างของฐานปิรามิดจะเท่ากับ:
a = √t = √47.8355 data 6.916 ซม.
หากต้องการหาความยาวของระยะแนบใน ให้ใช้สูตร:
ชั่วโมง ข = √(ชั่วโมง 2 + ก 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) หยาบคาย 7.808 ซม.
พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด Cheops
ให้เรากำหนดค่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุด เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของมันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 230.363 เมตร ความสูงของโครงสร้างเดิมอยู่ที่ 146.5 เมตร แทนตัวเลขเหล่านี้เป็นสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับ Sb เราจะได้:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 กลับไปยัง 85860 ม. 2
ค่าที่พบจะมากกว่าพื้นที่สนามฟุตบอลทั้ง 17 สนามเล็กน้อย
คำนิยาม. ขอบด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนของปิรามิด และด้านตรงข้ามเกิดขึ้นพร้อมกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)
คำนิยาม. ซี่โครงด้านข้าง- นี่คือด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ปิรามิดมีขอบเท่ากับมุมของรูปหลายเหลี่ยม
คำนิยาม. ความสูงของพีระมิด- นี่คือแนวตั้งฉากที่ลดลงจากด้านบนถึงฐานของปิรามิด
คำนิยาม. ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง- เป็นแนวตั้งฉากกับด้านข้างของปิรามิด โดยลดระดับลงจากด้านบนของปิรามิดไปที่ด้านข้างของฐาน
คำนิยาม. ส่วนแนวทแยง- นี่คือส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านยอดปิรามิดและเส้นทแยงมุมของฐาน
คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้องเป็นปิรามิดซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีความสูงลงมาจนถึงจุดศูนย์กลางฐาน
ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด
สูตร. ปริมาตรของปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:
คุณสมบัติของปิรามิด
หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ก็จะสามารถวาดวงกลมรอบฐานของพีระมิดได้ และจุดศูนย์กลางของฐานจะตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้ เส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะผ่านศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)
หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ขอบเหล่านั้นจะเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
ขอบด้านข้างจะเท่ากันเมื่อทำมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน หรือหากสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้
หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน ก็สามารถเขียนวงกลมเข้าไปในฐานของปิรามิดได้ และด้านบนของปิรามิดจะถูกฉายไว้ที่กึ่งกลาง
ถ้าหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน แล้วจุดตั้งฉากของหน้าด้านข้างจะเท่ากัน
คุณสมบัติของปิระมิดปกติ
1. ยอดปิรามิดมีระยะห่างเท่ากันจากทุกมุมของฐาน
2. ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเป็นมุมเท่ากันกับฐาน
4. เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน
7. สามารถอธิบายทรงกลมรอบๆ พีระมิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางของขอบ
8. คุณสามารถใส่ทรงกลมลงในปิรามิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากมุมระหว่างขอบกับฐาน
9. ถ้าจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้ตรงกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้แล้ว ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งจะเท่ากับ π/n โดยที่ n คือตัวเลข มุมที่ฐานปิระมิด
การเชื่อมต่อระหว่างปิรามิดกับทรงกลม
ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด เมื่อที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดของระนาบที่ผ่านตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของปิรามิด
เป็นไปได้เสมอที่จะอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดสามเหลี่ยมหรือพีระมิดปกติ
ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในปิรามิดได้ ถ้าระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของปิรามิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม
การเชื่อมต่อของปิรามิดกับกรวย
กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจารึกไว้ในปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด
กรวยสามารถเขียนไว้ในปิรามิดได้หากจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากัน
กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจำกัดขอบเขตรอบปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจำกัดรอบฐานของปิรามิด
กรวยสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดถ้าขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันทุกด้าน
ความสัมพันธ์ระหว่างปิรามิดกับทรงกระบอก
ปิรามิดจะถูกเรียกว่าจารึกไว้ในทรงกระบอก หากส่วนบนของปิรามิดอยู่บนฐานด้านหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของปิรามิดนั้นถูกจารึกไว้ในฐานอีกฐานหนึ่งของทรงกระบอก
ทรงกระบอกสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้
จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและมีขอบหกด้าน โดยที่ขอบทั้งสองนั้นไม่มีจุดยอดร่วมแต่ไม่ได้สัมผัสกัน
แต่ละจุดยอดประกอบด้วยสามใบหน้าและขอบที่ก่อตัว มุมสามเหลี่ยม.
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).
ไบมีเดียนเรียกว่าส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามที่ไม่สัมผัสกัน (KL)
ไบมีเดียนและมัธยฐานของจัตุรมุขทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานจะถูกแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานจะถูกแบ่งในอัตราส่วน 3:1 โดยเริ่มจากด้านบน
คำนิยาม. ปิรามิดมุมแหลม- ปิระมิดซึ่งมีระยะเอโพเธมยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน
คำนิยาม. พีระมิดป้าน- ปิระมิดซึ่งมีระยะเอโพเธมน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน
คำนิยาม. จัตุรมุขปกติ- จัตุรมุขซึ่งมีใบหน้าทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ในทรงจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมตรีฮีดรัล (ที่จุดยอด) จะเท่ากัน
คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีมุมฉากระหว่างขอบทั้งสามที่ปลาย (ขอบตั้งฉากกัน) เป็นรูปหน้าทั้งสาม มุมสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ระยะกึ่งกลางของใบหน้าใดๆ จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่จุดกึ่งกลางด้านนั้นตก
คำนิยาม. จัตุรมุข Isohedralเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีใบหน้าด้านข้างเท่ากันและมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จัตุรมุขดังกล่าวมีใบหน้าที่เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
คำนิยาม. จัตุรมุขออร์โธเซนตริกเรียกว่าจัตุรมุข ซึ่งความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดระดับจากด้านบนลงสู่ด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง
คำนิยาม. ปิรามิดดาวเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นดาวฤกษ์
เมื่อเตรียมตัวสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะต้องจัดระบบความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต ฉันต้องการรวมข้อมูลที่ทราบทั้งหมด เช่น วิธีคำนวณพื้นที่ของปิรามิด นอกจากนี้เริ่มจากฐานและขอบด้านข้างไปจนถึงพื้นที่ผิวทั้งหมด หากสถานการณ์ที่มีใบหน้าด้านข้างชัดเจน เนื่องจากเป็นรูปสามเหลี่ยม ฐานก็จะต่างกันเสมอ
จะหาพื้นที่ฐานของปิรามิดได้อย่างไร?
มันสามารถเป็นรูปอะไรก็ได้: จากรูปสามเหลี่ยมใดก็ได้ไปจนถึงรูป n-gon และฐานนี้นอกเหนือจากความแตกต่างในจำนวนมุมแล้ว อาจเป็นตัวเลขปกติหรือแบบไม่ปกติก็ได้ ในงานการสอบ Unified State ที่เป็นที่สนใจของเด็กนักเรียน มีเพียงงานที่มีตัวเลขที่ถูกต้องที่ฐานเท่านั้น ดังนั้นเราจะพูดถึงพวกเขาเท่านั้น
สามเหลี่ยมปกติ
นั่นคือด้านเท่ากันหมด ด้านที่ทุกด้านเท่ากันและกำหนดด้วยตัวอักษร "a" ในกรณีนี้ พื้นที่ฐานของปิรามิดคำนวณโดยสูตร:
ส = (ก 2 * √3) / 4
สี่เหลี่ยม
สูตรการคำนวณพื้นที่นั้นง่ายที่สุด โดยที่ "a" คือด้านอีกครั้ง:
n-gon ปกติโดยพลการ
ด้านของรูปหลายเหลี่ยมมีสัญกรณ์เหมือนกัน สำหรับจำนวนมุม จะใช้อักษรละติน n
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n))
จะทำอย่างไรเมื่อคำนวณพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมด?
เนื่องจากฐานเป็นรูปปกติ ใบหน้าของปิระมิดทุกด้านจึงเท่ากัน ยิ่งกว่านั้นแต่ละอันเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเนื่องจากขอบด้านข้างเท่ากัน จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิด คุณจะต้องมีสูตรที่ประกอบด้วยผลรวมของ monomials ที่เหมือนกัน จำนวนเทอมถูกกำหนดโดยจำนวนด้านของฐาน
พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคำนวณโดยสูตรโดยคูณครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานด้วยความสูง ความสูงในปิรามิดนี้เรียกว่าอะโพเธม ชื่อของมันคือ "A" สูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างคือ:
S = ½ P*A โดยที่ P คือเส้นรอบวงของฐานของพีระมิด
มีบางสถานการณ์ที่ไม่ทราบด้านข้างของฐาน แต่ให้ขอบด้านข้าง (c) และมุมเรียบที่ปลาย (α) ไว้ จากนั้นคุณจะต้องใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิด:
S = n/2 * ใน 2 บาป α .
ภารกิจที่ 1
เงื่อนไข.ค้นหาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิดหากฐานมีด้าน 4 ซม. และระยะกึ่งกลางของพีระมิดมีค่า √3 ซม.
สารละลาย.คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคำนวณเส้นรอบวงของฐาน เนื่องจากนี่คือรูปสามเหลี่ยมปกติ ดังนั้น P = 3*4 = 12 ซม. เนื่องจากทราบระยะกึ่งกลางระหว่างด้านฉาก เราจึงสามารถคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมดได้ทันที: ½*12*√3 = 6√3 ซม. 2
สำหรับสามเหลี่ยมที่ฐาน คุณจะได้ค่าพื้นที่ต่อไปนี้: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 ซม. 2
ในการกำหนดพื้นที่ทั้งหมด คุณจะต้องเพิ่มค่าผลลัพธ์สองค่า: 6√3 + 4√3 = 10√3 ซม. 2
คำตอบ. 10√3 ซม. 2
ปัญหาหมายเลข 2
เงื่อนไข. มีปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ความยาวของด้านฐาน 7 มม. ขอบด้านข้าง 16 มม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวของมัน
สารละลาย.เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสม่ำเสมอ ฐานจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อทราบพื้นที่ของฐานและหน้าด้านข้างแล้ว คุณจะสามารถคำนวณพื้นที่ของพีระมิดได้ สูตรสำหรับกำลังสองแสดงไว้ด้านบน และสำหรับใบหน้าด้านข้าง จะรู้จักทุกด้านของสามเหลี่ยม ดังนั้น คุณสามารถใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ของมันได้
การคำนวณครั้งแรกนั้นง่ายและนำไปสู่หมายเลขต่อไปนี้: 49 มม. 2 สำหรับค่าที่สอง คุณจะต้องคำนวณกึ่งปริมณฑล: (7 + 16*2): 2 = 19.5 มม. ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 มม. 2 สามเหลี่ยมดังกล่าวมีเพียงสี่รูปเท่านั้น ดังนั้นเมื่อคำนวณตัวเลขสุดท้าย คุณจะต้องคูณด้วย 4
ปรากฎว่า: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 มม. 2
คำตอบ. ค่าที่ต้องการคือ 267.576 มม. 2
ปัญหาหมายเลข 3
เงื่อนไข. สำหรับปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ คุณต้องคำนวณพื้นที่ ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกว้าง 6 ซม. และสูง 4 ซม.
สารละลาย.วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้สูตรกับผลคูณของเส้นรอบรูปและระยะตั้งฉาก ค่าแรกหาง่าย อันที่สองซับซ้อนกว่าเล็กน้อย
เราจะต้องจำทฤษฎีบทพีทาโกรัสและพิจารณาว่ามันถูกสร้างขึ้นจากความสูงของปิรามิดและจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาที่สองเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมตกลงไปตรงกลาง
เส้นตั้งฉากในที่ต้องการ (ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก) เท่ากับ √(3 2 + 4 2) = 5 (ซม.)
ตอนนี้คุณสามารถคำนวณค่าที่ต้องการได้แล้ว: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (ซม. 2)
คำตอบ. 96 ซม.2.
ปัญหาหมายเลข 4
เงื่อนไข.ให้ด้านที่ถูกต้อง ฐานด้านข้าง 22 มม. ขอบด้านข้าง 61 มม. พื้นที่ผิวด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นเท่าใด?
สารละลาย.เหตุผลในนั้นเหมือนกับที่อธิบายไว้ในภารกิจที่ 2 มีเพียงปิรามิดที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานเท่านั้น และตอนนี้ก็เป็นรูปหกเหลี่ยม
ก่อนอื่น พื้นที่ฐานคำนวณโดยใช้สูตรด้านบน: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2
ตอนนี้ คุณต้องหาระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งก็คือด้านด้านข้าง (22+61*2):2 = 72 ซม. สิ่งที่เหลืออยู่คือใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปนั้น จากนั้นคูณด้วย 6 แล้วบวกเข้ากับค่าที่ได้สำหรับฐาน
การคำนวณโดยใช้สูตรของเฮรอน: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2 การคำนวณที่จะให้พื้นที่ผิวด้านข้าง: 660 * 6 = 3960 ซม. 2 ยังคงต้องบวกเข้าด้วยกันเพื่อค้นหาพื้นผิวทั้งหมด: 5217.47µ25217 ซม. 2
คำตอบ.ฐานคือ726√3 cm2 พื้นผิวด้านข้างคือ 3960 cm2 พื้นที่ทั้งหมดคือ 5217 cm2
เงินและราคาในลัตเวีย เงินลัตเวีย
อาหารของสหรัฐอาหรับเอมิเรตส์
อ่าวบริสตอล: ภูมิศาสตร์ ประชากร ทรัพยากรธรรมชาติ และโอกาสด้านการท่องเที่ยว อุณหภูมิของน้ำและความเค็ม