Aria suprafeței laterale a piramidei. Aria piramidei Aria laturilor piramidei

Piramida triunghiulara este un poliedru a cărui bază este un triunghi regulat.

Într-o astfel de piramidă, marginile bazei și marginile laturilor sunt egale între ele. În consecință, aria fețelor laterale se găsește din suma ariilor a trei triunghiuri identice. Puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite folosind formula. Și puteți face calculul de câteva ori mai rapid. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați formula pentru zona suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare:

unde p este perimetrul bazei, ale cărei toate laturile sunt egale cu b, a este apotema coborâtă de la vârf la această bază. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă obișnuită. Latura triunghiului de la bază este b = 4 cm. Apotema piramidei este a = 7 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Deoarece, în funcție de condițiile problemei, cunoaștem lungimile tuturor elementelor necesare, vom găsi perimetrul. Ne amintim că într-un triunghi obișnuit toate laturile sunt egale și, prin urmare, perimetrul este calculat cu formula:

Să înlocuim datele și să găsim valoarea:

Acum, cunoscând perimetrul, putem calcula aria suprafeței laterale:

Pentru a aplica formula pentru aria unei piramide triunghiulare pentru a calcula valoarea completă, trebuie să găsiți aria bazei poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula:

Formula pentru aria bazei unei piramide triunghiulare poate fi diferită. Este posibil să utilizați orice calcul al parametrilor pentru o anumită cifră, dar cel mai adesea acest lucru nu este necesar. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Într-o piramidă obișnuită, latura triunghiului de la bază este a = 6 cm. Calculați aria bazei.
Pentru a calcula, avem nevoie doar de lungimea laturii triunghiului regulat situat la baza piramidei. Să înlocuim datele în formula:

Destul de des trebuie să găsiți aria totală a unui poliedru. Pentru a face acest lucru, va trebui să adăugați zona suprafeței laterale și a bazei.

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă triunghiulară regulată. Latura bazei este b = 4 cm, apotema este a = 6 cm. Aflați aria totală a piramidei.
Mai întâi, să găsim aria suprafeței laterale folosind formula deja cunoscută. Să calculăm perimetrul:

Înlocuiți datele în formula:
Acum să găsim aria bazei:
Cunoscând aria bazei și a suprafeței laterale, găsim aria totală a piramidei:

Când calculați aria unei piramide obișnuite, nu trebuie să uitați că baza este un triunghi regulat și multe elemente ale acestui poliedru sunt egale între ele.

Piramidă este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm. Apotema a = 5 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în diferite moduri. Puteți aplica formula obișnuită de calcul folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața bazei b = 2 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria unei piramide trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.

Dată o piramidă patruunghiulară regulată. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Aflați aria suprafeței laterale a figurii.
Mai întâi, să găsim perimetrul bazelor. Pe o bază mai mare, va fi egal cu:
Într-o bază mai mică:
Să calculăm aria:

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Tipuri de figuri

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi sunt triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:

corect;
trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.

Termeni și simboluri

Termeni cheie:

Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
Secțiune- o figură plată formată în urma disecției. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va avea și diferențe.

În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.

Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:

S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Fie ca apotema să fie egală cu 5 cm. Mai întâi trebuie să găsiți perimetrul. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm. În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, iar apotema este de 4 cm.

Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide.

Definiția piramidei

Piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele sale sunt triunghiuri.

Calculator online

Merită să ne oprim asupra definiției unor componente ale piramidei.

Ea, ca și alte poliedre, are coaste. Ele converg către un punct numit top piramide. Se poate baza pe un poligon arbitrar. Margine este o figură geometrică formată din una dintre laturile bazei și două margini cele mai apropiate. În cazul nostru este un triunghi. Înălţime piramida este distanța de la planul în care se află baza sa până la vârful poliedrului. Pentru o piramidă obișnuită, există și un concept apoteme- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.

Tipuri de piramide

Există 3 tipuri de piramide:

Dreptunghiular- una în care orice muchie formează un unghi drept cu baza.
Corect- baza sa este o figură geometrică regulată, iar vârful poligonului însuși este o proiecție a centrului bazei.
Tetraedru- o piramidă formată din triunghiuri. Mai mult, fiecare dintre ele poate fi luată ca bază.

Formula pentru suprafața unei piramide

Pentru a găsi suprafața totală a piramidei, trebuie să adăugați aria suprafeței laterale și aria bazei.

Cel mai simplu caz este cazul unei piramide obișnuite, așa că ne vom ocupa de el. Să calculăm suprafața totală a unei astfel de piramide. Suprafața laterală este:

Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS latură = 2 1 ⋅ l ⋅p

Ll l- apotema piramidei;
p p p- perimetrul bazei piramidei.

Suprafața totală a piramidei:

S = partea S + S principal S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S latură + S de bază

S side S_(\text(side)) S latură - zona suprafeței laterale a piramidei;
S principal S_(\text(de bază)) S de bază - zona bazei piramidei.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme.

Exemplu

Aflați aria totală a unei piramide triunghiulare dacă apotema ei este de 8 (cm), iar la bază există un triunghi echilateral cu latura 3 (cm)

Soluţie

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3

Să găsim perimetrul bazei. Deoarece baza este un triunghi echilateral cu latura a a A, apoi perimetrul său p p p(suma tuturor laturilor sale):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Atunci aria laterală a piramidei este:

Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S latură = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vezi mp)

Acum să găsim aria bazei piramidei, adică aria triunghiului. În cazul nostru, triunghiul este echilateral și aria lui poate fi calculată folosind formula:

S principal = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S de bază = 4 3 ⋅ A 2

A a A- latura triunghiului.

Primim:

S principal = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\aprox3.9S de bază = 4 3 ⋅ A 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (vezi mp)

Suprafata totala:

S = partea S + S principal ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9S=S latură + S de bază ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vezi mp)

Răspuns: 39,9 cm patrati

Un alt exemplu, un pic mai complicat.

Exemplu

Baza piramidei este un pătrat cu o suprafață de 36 (cm2). Apotema unui poliedru este de 3 ori latura bazei a a A. Găsiți suprafața totală a acestei figuri.

Soluţie

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ A

Să găsim latura bazei, adică latura pătratului. Suprafața și lungimea laterală sunt legate:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad = A 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = A 2
a = 6 a=6 a =6

Să găsim perimetrul bazei piramidei (adică perimetrul pătratului):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Să aflăm lungimea apotemului:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

În cazul nostru:

S quad = S principal S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S quad = S de bază

Tot ce rămâne este să găsiți zona suprafeței laterale. Conform formulei:

Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S latură = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vezi mp)

Suprafata totala:

$S=S_(\text(side))+S_(\text(main))=216+36=252$

Răspuns: 252 cm patrati.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.